Suma, produsul, câtul și puterea de funcții continue
Operațiile efectuate cu funcții continue permit construirea unor noi funcții continue. Dacă două funcții sunt continue într-un punct sau pe o mulțime, atunci funcțiile obținute prin anumite operații între ele sunt, la rândul lor, continue.
Teoremă
Fie funcțiile \(f,g:D\to\mathbb{R}\) continue în punctul \(x_0\in D\). Atunci
a) \(h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)\), \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), este continuă în \(x_0\).
b) \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) este continuă în \(x_0\).
c) \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), \(g(x_0)\neq 0\), este continuă în \(x_0\).
d) \(h(x)=(f(x))^{g(x)}\), dacă expresia are sens pentru orice \(x\in D\), este continuă în \(x_0\).
Exemple rezolvate
Exemplul 1. Să se arate că funcția \(h(x)=x^2+(2x+1)\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Rezolvare.
Considerăm funcțiile
\[
f(x)=x^2,\qquad g(x)=2x+1.
\]
Funcția \(f(x)=x^2\) este funcție polinomială, deci este continuă în orice punct al lui \(\mathbb{R}\), în particular în punctul \(x_0=1\).
Funcția \(g(x)=2x+1\) este de asemenea funcție polinomială, deci este continuă în punctul \(x_0=1\).
Observăm că
\[
h(x)=x^2+(2x+1)=f(x)+g(x).
\]
Conform teoremei privind suma funcțiilor continue, rezultă că funcția \(h\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Exemplul 2. Să se arate că funcția \(h(x)=x(x+3)\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Rezolvare.
Considerăm funcțiile
\[
f(x)=x,\qquad g(x)=x+3.
\]
Funcția \(f(x)=x\) este funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în orice punct al lui \(\mathbb{R}\), în particular în punctul \(x_0=1\).
Funcția \(g(x)=x+3\) este de asemenea funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în punctul \(x_0=1\).
Observăm că
\[
h(x)=x(x+3)=f(x)\cdot g(x).
\]
Conform teoremei privind produsul funcțiilor continue, rezultă că funcția \(h\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Exemplul 3. Să se arate că funcția \(h(x)=\frac{x+1}{x+2}\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Rezolvare.
Considerăm funcțiile
\[
f(x)=x+1,\qquad g(x)=x+2.
\]
Funcția \(f(x)=x+1\) este funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în orice punct al lui \(\mathbb{R}\), în particular în punctul \(x_0=1\).
Funcția \(g(x)=x+2\) este de asemenea funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în punctul \(x_0=1\).
Observăm că
\[
h(x)=\frac{x+1}{x+2}=\frac{f(x)}{g(x)}.
\]
De asemenea,
\[
g(1)=1+2=3\neq0.
\]
Conform teoremei privind câtul funcțiilor continue, rezultă că funcția \(h\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Exemplul 4. Să se arate că funcția \(h(x)=(x+2)^{x+1}\) este continuă în punctul \(x_0=1\).
Rezolvare.
Considerăm funcțiile
\[
f(x)=x+2,\qquad g(x)=x+1.
\]
Funcția \(f(x)=x+2\) este funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în orice punct al lui \(\mathbb{R}\), în particular în punctul \(x_0=1\).
Funcția \(g(x)=x+1\) este de asemenea funcție polinomială de gradul 1, deci este continuă în punctul \(x_0=1\).
Observăm că
\[
h(x)=(x+2)^{x+1}=(f(x))^{g(x)}.
\]
De asemenea,
\[
f(1)=1+2=3>0,
\]
deci expresia \((f(x))^{g(x)}\) are sens într-o vecinătate a punctului \(x_0=1\).
Conform teoremei privind puterea funcțiilor continue, rezultă că funcția \(h\) este continuă în punctul \(x_0=1\). Continuitatea funcțiilor compuse
Teoremă (Continuitatea funcțiilor compuse).
Fie funcțiile \(f:A\to B\) și \(g:B\to\mathbb{R}\). Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\in A\) și funcția \(g\) este continuă în punctul \(f(x_0)\in B\), atunci funcția compusă \[ g\circ f:A\to\mathbb{R},\quad (g\circ f)(x)=g(f(x)) \] este continuă în punctul \(x_0\).
Fie funcțiile \(f:A\to B\) și \(g:B\to\mathbb{R}\). Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\in A\) și funcția \(g\) este continuă în punctul \(f(x_0)\in B\), atunci funcția compusă \[ g\circ f:A\to\mathbb{R},\quad (g\circ f)(x)=g(f(x)) \] este continuă în punctul \(x_0\).
Exemple rezolvate
Exemplul 1. Fie funcțiile \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty)\), \(f(x)=x^2+1\) și \(g:[1,\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\sqrt{x}\). Să se arate că funcția compusă
\[
g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad (g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}
\]
este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Rezolvare.
Funcția \(f(x)=x^2+1\) este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Funcția \(g(x)=\sqrt{x}\) este continuă pe \([1,\infty)\).
Deoarece
\[
x^2+1\ge1,\quad \forall x\in\mathbb{R},
\]
rezultă
\[
f(\mathbb{R})\subset[1,\infty).
\]
Prin teorema continuității funcțiilor compuse rezultă că funcția
\[
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}
\]
este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Exemplul 2. Să se studieze continuitatea funcțiilor \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f\circ g\) și \(g\circ f\), dacă
\[
f(x)=2x-1,\quad g(x)=3x-2.
\]
Rezolvare.
Funcția \(f(x)=2x-1\) este un polinom de gradul I, deci este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Funcția \(g(x)=3x-2\) este un polinom de gradul I, deci este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Calculăm funcțiile compuse.
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x-2)=2(3x-2)-1=6x-5.
\]
Funcția \(f\circ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \((f\circ g)(x)=6x-5\) este un polinom de gradul I, deci este continuă pe \(\mathbb{R}\).
\[
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-1)=3(2x-1)-2=6x-5.
\]
Funcția \(g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \((g\circ f)(x)=6x-5\) este un polinom de gradul I, deci este continuă pe \(\mathbb{R}\).
Exemplul 3. Să se studieze continuitatea funcțiilor \(f,g,f+g,f\cdot g\) și \(\frac{f}{g}\), unde \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\),
\[
f(x)=\begin{cases}
x+1,& x\le1\\
-x+1,& x>1
\end{cases},
\qquad
g(x)=\begin{cases}
x,& x\le1\\
2x-1,& x>1
\end{cases}.
\]
Rezolvare. Funcțiile \(x+1,-x+1,x,2x-1\) sunt polinoame de gradul I, deci sunt continue pe \(\mathbb{R}\). Rezultă că funcțiile \(f\) și \(g\) sunt continue pe intervalele \((-\infty,1)\) și \((1,\infty)\). Verificăm continuitatea în \(x=1\).
\[
f(1)=1+1=2
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}f(x)=\lim_{x\to1}(-x+1)=0
\]
Deoarece
\[
l_{s}(1)\ne l_{d}(1),
\]
rezultă că funcția \(f\) nu este continuă în \(x=1\).
Pentru funcția \(g\):
\[
g(1)=1
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}g(x)=\lim_{x\to1}x=1
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}g(x)=\lim_{x\to1}(2x-1)=1
\]
Deci
\[
l_{s}(1)=l_{d}(1)=g(1),
\]
prin urmare \(g\) este continuă în \(x=1\), deci continuă pe \(\mathbb{R}\).
Studiem funcția \(f+g\).
Pentru \(x\le1\), avem \(f(x)=x+1\) și \(g(x)=x\), deci
\[
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+1)+x=2x+1.
\]
Pentru \(x>1\), avem \(f(x)=-x+1\) și \(g(x)=2x-1\), deci
\[
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-x+1)+(2x-1)=x.
\]
Prin urmare,
\[
(f+g)(x)=\begin{cases}
2x+1,& x\le1\\
x,& x>1
\end{cases}.
\]
Funcția \(f+g\) este continuă pe intervalele \((-\infty,1)\) și \((1,\infty)\), deoarece pe aceste intervale este dată de polinoame.
Verificăm continuitatea în \(x=1\).
\[
(f+g)(1)=2\cdot1+1=3
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}(f+g)(x)=\lim_{x\to1}(2x+1)=3
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}(f+g)(x)=\lim_{x\to1}x=1
\]
Deoarece
\[
l_{s}(1)\ne l_{d}(1),
\]
rezultă că funcția \(f+g\) nu este continuă în \(x=1\).
Așadar, funcția \(f+g\) este discontinuă în \(x=1\).
Studiem funcția \(f-g\).
Pentru \(x\le1\), avem \(f(x)=x+1\) și \(g(x)=x\), deci
\[
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x+1)-x=1.
\]
Pentru \(x>1\), avem \(f(x)=-x+1\) și \(g(x)=2x-1\), deci
\[
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(-x+1)-(2x-1)=-3x+2.
\]
Prin urmare,
\[
(f-g)(x)=
\begin{cases}
1,& x\le1\\
-3x+2,& x>1
\end{cases}.
\]
Funcția \(f-g\) este continuă pe intervalele \((-\infty,1)\) și \((1,\infty)\), deoarece pe aceste intervale este dată de polinoame.
Verificăm continuitatea în \(x=1\).
\[
(f-g)(1)=1
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}(f-g)(x)=\lim_{x\to1}1=1
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}(f-g)(x)=\lim_{x\to1}(-3x+2)=-1
\]
Deoarece
\[
l_{s}(1)\ne l_{d}(1),
\]
rezultă că funcția \(f-g\) nu este continuă în \(x=1\).
Așadar, funcția \(f-g\) este discontinuă în \(x=1\).
Studiem funcția \(f\cdot g\).
Pentru \(x\le1\), avem \(f(x)=x+1\) și \(g(x)=x\), deci
\[
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=(x+1)x=x^2+x.
\]
Pentru \(x>1\), avem \(f(x)=-x+1\) și \(g(x)=2x-1\), deci
\[
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=(-x+1)(2x-1)=-2x^2+3x-1.
\]
Prin urmare,
\[
(f\cdot g)(x)=
\begin{cases}
x^2+x,& x\le1\\
-2x^2+3x-1,& x>1
\end{cases}.
\]
Funcția \(f\cdot g\) este continuă pe intervalele \((-\infty,1)\) și \((1,\infty)\), deoarece pe aceste intervale este dată de polinoame.
Verificăm continuitatea în \(x=1\).
\[
(f\cdot g)(1)=1^2+1=2
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}(f\cdot g)(x)=\lim_{x\to1}(x^2+x)=2
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}(f\cdot g)(x)=\lim_{x\to1}(-2x^2+3x-1)=0
\]
Deoarece
\[
l_{s}(1)\ne l_{d}(1),
\]
rezultă că funcția \(f\cdot g\) nu este continuă în \(x=1\).
Așadar, funcția \(f\cdot g\) este discontinuă în \(x=1\).
Studiem funcția \(\frac{f}{g}\).
Pentru \(x\le1\), avem \(f(x)=x+1\) și \(g(x)=x\), deci
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x},\quad x\ne0.
\]
Pentru \(x>1\), avem \(f(x)=-x+1\) și \(g(x)=2x-1\), deci
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-x+1}{2x-1}.
\]
Prin urmare,
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=
\begin{cases}
\frac{x+1}{x},& x\le1,\ x\ne0\\
\frac{-x+1}{2x-1},& x>1
\end{cases}.
\]
Funcția \(\frac{f}{g}\) este continuă pe intervalele \((-\infty,0)\), \((0,1)\) și \((1,\infty)\), deoarece pe aceste intervale este raport de funcții continue cu numitor nenul.
Verificăm continuitatea în \(x=1\).
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(1)=\frac{2}{1}=2
\]
\[
l_{s}(1)=\lim_{x\to1 \atop x<1}\frac{x+1}{x}=2
\]
\[
l_{d}(1)=\lim_{x\to1 \atop x>1}\frac{-x+1}{2x-1}=0
\]
Deoarece
\[
l_{s}(1)\ne l_{d}(1),
\]
rezultă că funcția \(\frac{f}{g}\) nu este continuă în \(x=1\).
De asemenea, funcția \(\frac{f}{g}\) nu este definită în \(x=0\), deoarece \(g(0)=0\).
