În această pagină vei găsi explicații și exerciții rezolvate despre sistemele de ecuații de gradul I cu două necunoscute, unul dintre cele mai importante capitole din algebra de gimnaziu. Sunt prezentate noțiunile teoretice de bază, metodele de rezolvare explicate pas cu pas, precum și exemple și probleme propuse pentru consolidarea cunoștințelor.
Vei putea învăța:
- ce este un sistem de ecuații de gradul I cu două necunoscute;
- cum se determină soluția unui sistem;
- cum se rezolvă un sistem prin metoda substituției;
- cum se rezolvă un sistem prin metoda reducerii;
- cum se interpretează geometric soluțiile unui sistem;
Pagina este utilă atât pentru recapitulare, cât și pentru pregătirea temelor, evaluărilor curente sau examenelor.
Definiție
1.Un sistem de ecuații de gradul I cu două necunoscute are forma
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$$
unde \(x\) și \(y\) sunt necunoscutele, \(a_1, a_2, b_1, b_2\) sunt coeficienții necunoscutelor, iar \(c_1, c_2\) sunt termenii liberi, toate fiind numere reale.
Soluția sistemului este perechea de numere \((x,y)\) care verifică simultan ambele ecuații.
2.Metode de rezolvare
Metoda substituției
Etape de rezolvare:
- exprimăm o necunoscută dintr-o ecuație;
- înlocuim în cealaltă ecuație;
- determinăm una dintre necunoscute;
- determinăm a doua necunoscută.
Metoda reducerii
Etape de rezolvare:
- aducem coeficienții unei necunoscute la valori opuse sau egale;
- adunăm/scădem ecuațiile;
- determinăm una dintre necunoscute;
- determinăm a doua necunoscută.
3.Interpretare geometrică
Fie sistemul
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$$
Fiecare ecuație de gradul I cu două necunoscute reprezintă, în planul cartezian, o dreaptă. Prin urmare, rezolvarea sistemului se poate interpreta geometric analizând poziția relativă a celor două drepte.
- Două drepte secante – cele două drepte se intersectează într-un singur punct. Coordonatele punctului de intersecție reprezintă soluția unică a sistemului. În acest caz, sistemul se numește sistem compatibil determinat.
- Două drepte coincidente – cele două ecuații reprezintă aceeași dreaptă. Toate punctele de pe acea dreaptă verifică ambele ecuații, deci sistemul are o infinitate de soluții. Sistemul se numește sistem compatibil nedeterminat.
- Două drepte paralele distincte – cele două drepte sunt paralele și nu au niciun punct comun. Prin urmare, nu există nicio pereche de numere care să verifice simultan ambele ecuații. Sistemul nu are soluții și se numește sistem incompatibil.
4.Exemple rezolvate
Rezolvare
Metoda 1 – Metoda substituției
$$ \begin{cases} x-2y=3\\ 3x+y=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3+2y\\ 3(3+2y)+y=2 \end{cases} \Rightarrow 9+6y+y=2 $$ $$ 7y=2-9 \Rightarrow 7y=-7 \Rightarrow y=-1 $$Înlocuim în \(x=3+2y\), obținem:
$$ x=3+2\cdot(-1)=3-2=1 $$ $$ S:(1,-1) $$Metoda 2 – Metoda reducerii
$$ \begin{cases} x-2y=3\\ 3x+y=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-2y=3\\ 2\cdot(3x+y)=2\cdot2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-2y=3\\ 6x+2y=4 \end{cases} $$Adunând pe coloane obținem:
$$ 7x=7 \Rightarrow x=1 $$Înlocuim în oricare din cele două ecuații ale sistemului:
$$ 1-2y=3 \Rightarrow -2y=3-1 \Rightarrow -2y=2 \Rightarrow y=-1 $$ $$ S:(1,-1) $$Exemplul 2. Să se rezolve sistemul de ecuații
$$ \begin{cases} x\sqrt{2}+2y=4\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} $$Rezolvare
Metoda 2 – Metoda substituției
$$ \begin{cases} x\sqrt{2}+2y=4\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2(x\sqrt{2}+2y)=2\cdot4\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x\sqrt{2}+4y=8\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} $$Adunând pe coloane obținem:
$$ 7y=7 \Rightarrow y=1 $$Înlocuim în prima ecuație a sistemului:
$$ x\sqrt{2}+2\cdot1=4 \Rightarrow x\sqrt{2}=2 \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} $$ $$ S:(\sqrt{2},1) $$Metoda 2 – Metoda reducerii
$$ \begin{cases} x\sqrt{2}+2y=4\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2(x\sqrt{2}+2y)=2\cdot4\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x\sqrt{2}+4y=8\\ -2x\sqrt{2}+3y=-1 \end{cases} $$Adunând pe coloane obținem:
$$ 7y=7 \Rightarrow y=1 $$Înlocuim în prima ecuație a sistemului:
$$ x\sqrt{2}+2\cdot1=4 \Rightarrow x\sqrt{2}=2 \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} $$ $$ S:(\sqrt{2},1) $$5.Exemple propuse
2. Rezolvă prin metoda reducerii sistemele următoare:
\text{a)}\;
\begin{cases}
2x+3y=0\\
-4x+9y=15
\end{cases}
$$
\text{b)}\;
\begin{cases}
2x-y=0\\
5x+2y=-9
\end{cases}
$$
\text{c)}\;
\begin{cases}
-x+y=4\\
5x-y=-16
\end{cases}
$$
3. Rezolvați sistemele de ecuații:
