Mulțimi ordonate
Dacă \( A \) este mulțimea vidă, atunci \( \mathrm{card}\,A = 0 \).
Dacă \( A \) și \( B \) sunt două mulțimi finite, atunci:
O mulțime cu \( n \) elemente are \( 2^n \) submulțimi.
\[ \mathrm{card}(A^n) = (\mathrm{card}\,A)^n \]
Exerciții rezolvate
Rezolvare:
Are la dispoziție: \[ 3 \text{ trandafiri} \quad \text{și} \quad 5 \text{ crini} \] Numărul total de posibilități este: \[ 3 + 5 = 8 \] Rezultă că Mihai poate alege floarea în 8 moduri.
Rezolvare: Notăm:
\( A \) – mulțimea elevilor care joacă fotbal, \( \mathrm{card}(A)=18 \)
\( B \) – mulțimea elevilor care joacă baschet, \( \mathrm{card}(B)=15 \)
\( A \cap B \) – elevii care joacă ambele sporturi, \( \mathrm{card}(A \cap B)=7 \)
Aplicăm formula:
Exemplu 3: Se consideră primele 100 de numere naturale.
i) Câte numere dintre acestea se divid la 2?
ii) Câte numere dintre acestea se divid la 5?
iii) Câte numere dintre acestea se divid și la 2 și la 5?
iv) Câte numere dintre acestea se divid la 2 sau la 5?
Rezolvare:
i) Se divid la 2 un număr de
\[
\left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor = 50
\]
ii) Se divid la 5 un număr de
\[
\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20
\]
iii) Se divid și la 2 și la 5 (adică la 10) un număr de
\[
\left\lfloor \frac{100}{10} \right\rfloor = 10
\]
iv) Aplicăm formula:
\[
\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) – \mathrm{card}(A \cap B)
\]
unde:
\[
\mathrm{card}(A)=50,\quad \mathrm{card}(B)=20,\quad \mathrm{card}(A \cap B)=10
\]
\[
\mathrm{card}(A \cup B)=50+20-10=60
\]
Rezultă că 60 de numere se divid la 2 sau la 5.
\( A \) – mulțimea numerelor divizibile cu 2
\( B \) – mulțimea numerelor divizibile cu 3
\[ \mathrm{card}(A \cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A \cap B) \]
Obs: Numărul numerelor divizibile cu \( p \), pe \( \mathbb{N} \), de la
\( 1 \) la \( n \) este \( \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor \)
\( 0 \) la \( n \) este \( \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + 1 \)
\[ \mathrm{card}(A)=\left\lfloor \frac{123}{2} \right\rfloor = 61 \] \[ \mathrm{card}(B)=\left\lfloor \frac{123}{3} \right\rfloor = 41 \]
\[ (2,3)=1 \Rightarrow A \cap B \text{ este mulțimea elementelor divizibile cu } 6 \] \[ \mathrm{card}(A \cap B)=\left\lfloor \frac{123}{6} \right\rfloor = 20 \]
\[ \mathrm{card}(A \cup B)=61+41-20=102-20=82 \]
