Definiție
Definiție
Teorema lui Bézout
Fie \( f \in K[X] \) un polinom și \( a \in K \). Restul împărțirii polinomului \( f \) la polinomul \( X-a \) este egal cu \( f(a) \).
Asta înseamnă că:
– \( a \) este rădăcină a polinomului \( f \) dacă și numai dacă \( f(a)=0 \);
– \( X-a \) divide polinomul \( f \) dacă și numai dacă \( f(a)=0 \).
Observații:
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Rezolvare:
Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii lui \( f \) la \( x-a \) este \( f(a) \).
Aici \( a = 1 \), deci:
\( f(1) = 1^2 – 3 \cdot 1 + 5 = 1 – 3 + 5 = 3 \)
\( r = 3 \)
Exemplul 2
Rezolvare:
Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii lui \( f \) la \( x-a \) este \( f(a) \).
Aici \( x+2 = x-(-2) \Rightarrow a = -2 \), deci:
\( f(-2) = (-2)^3 – 2\cdot(-2)^2 + (-2) – 1 = -8 – 8 – 2 – 1 = -19 \)
\( r = -19 \)
Exemplul 3
Rezolvare:
Scriem \( 2x – 1 = 2\left(x – \frac{1}{2}\right) \), deci rădăcina este \( a = \frac{1}{2} \).
Restul împărțirii este \( f\left(\frac{1}{2}\right) \):
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} – \frac{1}{2} + 2 = \frac{15}{8} \)
\( r = \frac{15}{8} \)
Exemplul 4
Rezolvare:
Conform teoremei lui Bézout, dacă restul este \( 0 \), atunci \( f(-1)=0 \).
\( f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 – (-1) + 2 = -1 + a + 1 + 2 = a + 2 \)
\( a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2 \)
Exemplul 5
Rezolvare:
Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii lui \( f \) la \( x-a \) este \( f(a) \).
Aici \( a = 2 \), deci:
\( f(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 – 2 + 1 = 8 + 4a – 2 + 1 = 7 + 4a \)
\( 7 + 4a = 2a – 5 \)
\( 2a = -12 \Rightarrow a = -6 \)
Rădăcini multiple
Definiție
Fie \( f \in K[X] \) și \( a \in K \). Spunem că \( x = a \) este rădăcină de ordin \( n \in \mathbb{N}^* \) a polinomului \( f \) dacă:
Teoremă
\( f(a) = f'(a) = f”(a) = \dots = f^{(n-1)}(a) = 0 \) și \( f^{(n)}(a) \neq 0 \)
Observație
Dacă \( a \) este rădăcină de ordin \( 3 \), atunci:
\( f(a)=0,\; f'(a)=0,\; f”(a)=0,\; f^{(3)}(a)\neq 0 \)
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Rezolvare:
Calculăm derivatele polinomului \( f \):
\( f'(x)=3x^2-6x+3 \)
\( f”(x)=6x-6 \)
\( f^{(3)}(x)=6 \)
Calculăm valorile în \( x=1 \):
\( f(1)=1-3+3-1=0 \)
\( f'(1)=3-6+3=0 \)
\( f”(1)=6-6=0 \)
\( f^{(3)}(1)=6\neq 0 \)
Deoarece \( f(1)=f'(1)=f”(1)=0 \) și \( f^{(3)}(1)\neq 0 \), rezultă că \( x=1 \) este rădăcină de ordin \( 3 \).
Exemplul 2
Rezolvare:
Pentru ca \( x = 1 \) să fie rădăcină de ordin \( 2 \), trebuie să avem:
\( f(1)=0 \) și \( f'(1)=0 \)
\( f(1)=1+a+b+1=a+b+2 \)
\( f'(x)=3x^2+2ax+b \)
\( f'(1)=3+2a+b \)
\( a+b+2=0 \)
\( 3+2a+b=0 \)
\( \begin{cases} a+b+2=0 \\ 3+2a+b=0 \end{cases} \)
\( (3+2a+b)-(a+b+2)=0 \Rightarrow a+1=0 \Rightarrow a=-1 \)
\( -1+b+2=0 \Rightarrow b=-1 \)
