Definiție
Definiție
Fie \( f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n, \; f \in K[x] \) și \( a \in K \).
Schema lui Horner este un procedeu de calcul prin care se determină câtul și restul împărțirii polinomului \( f \) la \( x-a \).
Coeficienții câtului și restul se obțin printr-un algoritm recurent pe baza coeficienților lui \( f \).
Etapele schemei lui Horner
1. Se scriu coeficienții polinomului \( f \) în ordine descrescătoare a puterilor lui \( x \).
2. Se scrie în stânga numărul \( a \) (din \( x-a \)).
3. Se coboară primul coeficient.
4. Se înmulțește numărul coborât cu \( a \) și se scrie rezultatul sub următorul coeficient.
5. Se adună pe coloană.
6. Se repetă pașii 4 și 5 până la ultimul coeficient.
7. Ultimul număr obținut reprezintă restul, iar celelalte valori reprezintă coeficienții câtului.
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Rezolvare:
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & x^3 & x^2 & x & 1 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & -4 \\ \hline 2 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ & & 2\cdot 1+(-2)=0 & 2\cdot 0+3=3 & 2\cdot 3+(-4)=2 \end{array} \]
Rezultă:
\( q=x^2+3,\qquad r=2 \)
Exemplul 2
Rezolvare:
\( 2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right) \)
\( \text{Deci, în schema lui Horner folosim numărul } \frac{1}{2}. \)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & x^3 & x^2 & x & 1 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & -3 \\ \hline \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{7}{4} & -\frac{17}{8} \\ & & \frac{1}{2}\cdot 1+(-1)=-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+2=\frac{7}{4} & \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{4}+(-3)=-\frac{17}{8} \end{array} \]
\( q=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{7}{4},\qquad r=-\frac{17}{8} \)
Exemplul 3
Rezolvare:
\( \text{Folosim schema lui Horner pentru } a = 1. \)
\( \text{Coeficienții sunt: } 1,\ a,\ -1,\ 2. \)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & x^3 & x^2 & x & 1 \\ \hline & 1 & a & -1 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 1+a & a & a+2 \\ & & 1\cdot 1+a=1+a & 1\cdot(1+a)+(-1)=a & 1\cdot a+2=a+2 \end{array} \]
\( r=a+2 \)
\( a+2=0 \Rightarrow a=-2 \)
Exemplul 4
Rezolvare:
\( \text{Dacă } x=1 \text{ este soluție dublă, atunci aplicăm schema lui Horner de două ori.} \)
\( \text{Coeficienții sunt: } 1,\ a,\ b,\ -2. \)
Prima schemă Horner:
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & x^3 & x^2 & x & 1 \\ \hline & 1 & a & b & -2 \\ \hline 1 & 1 & a+1 & a+b+1 & a+b-1 \\ & & 1\cdot1+a=a+1 & 1\cdot(a+1)+b=a+b+1 & 1\cdot(a+b+1)-2=a+b-1 \end{array} \]
\( a+b-1=0 \)
A doua schemă Horner:
\[ \begin{array}{c|c|c|c} & x^2 & x & 1 \\ \hline & 1 & a+1 & a+b+1 \\ \hline 1 & 1 & a+2 & 2a+b+3 \\ & & 1\cdot1+(a+1)=a+2 & 1\cdot(a+2)+(a+b+1)=2a+b+3 \end{array} \]
\( 2a+b+3=0 \)
\( \begin{cases} a+b-1=0 \\ 2a+b+3=0 \end{cases} \)
\( a=-4 \)
\( b=5 \)
