Definiție
Fie \( f \in \mathbb{C}[X] \),
\( f = a_0X^2 + a_1X + a_2 \), un polinom de gradul al doilea.
Dacă \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) sunt rădăcinile polinomului \( f \), atunci relațiile între rădăcinile și coeficienții acestuia sunt:
\[
\left\{
\begin{aligned}
z_1 + z_2 &= -\frac{a_1}{a_0} \\[6pt]
z_1 \cdot z_2 &= \frac{a_2}{a_0}
\end{aligned}
\right.
\quad
\text{relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul al doilea}
\]
Fie \( f \in \mathbb{C}[X] \),
\( f = a_0X^3 + a_1X^2 + a_2X + a_3 \), un polinom de gradul al treilea.
Dacă \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) sunt rădăcinile polinomului \( f \), atunci relațiile între rădăcinile și coeficienții acestuia sunt: \[ \left\{ \begin{aligned} z_1 + z_2 + z_3 &= -\frac{a_1}{a_0} \\[6pt] z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 &= \frac{a_2}{a_0} \\[6pt] z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 &= -\frac{a_3}{a_0} \end{aligned} \right. \quad \text{relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul al treilea} \]
Dacă \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) sunt rădăcinile polinomului \( f \), atunci relațiile între rădăcinile și coeficienții acestuia sunt: \[ \left\{ \begin{aligned} z_1 + z_2 + z_3 &= -\frac{a_1}{a_0} \\[6pt] z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 &= \frac{a_2}{a_0} \\[6pt] z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 &= -\frac{a_3}{a_0} \end{aligned} \right. \quad \text{relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul al treilea} \]
Aplicații ale relațiilor lui Viete
Relațiile lui Viète se dovedesc utile în aflarea rădăcinilor unui polinom
\( f \in \mathbb{C}[X] \), în cazul când aceste rădăcini verifică relații suplimentare.
Exemplul 1.
Scrieți relațiile lui Viète pentru polinomul
\[
f \in \mathbb{C}[X], \quad f = 2x^2 – 3x + 1
\]
Rezolvare.
\[
a=2,\quad b=-3,\quad c=1
\]
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \\[6pt]
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
Exemplul 2.
Scrieți relațiile lui Viète pentru polinomul
\[
f \in \mathbb{C}[X], \quad f = -x^3 + 2x^2 + 5x – 1
\]
Rezolvare.
\[
a=-1,\quad b=2,\quad c=5,\quad d=-1
\]
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a} = -\frac{2}{-1} = 2 \\[6pt]
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \frac{c}{a} = \frac{5}{-1} = -5 \\[6pt]
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 &= -\frac{d}{a} = -\frac{-1}{-1} = -1
\end{aligned}
\right.
\]
Exemplul 3.
Enunț. Fie \[ f = x^3 – 5x^2 + 3x + 1,\quad f \in \mathbb{C}[X]. \] Aflați rădăcinile lui \( f \), știind că \[ x_1 + x_2 = 4. \]
Rezolvare. Aplicăm relațiile lui Viète: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=3,\quad d=1 \] \[ \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a} = 5 \\[6pt] x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \frac{c}{a} = 3 \\[6pt] x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} = -1 \end{aligned} \right. \]
Din: \[ (x_1 + x_2) + x_3 = 5 \] \[ 4 + x_3 = 5 \Rightarrow x_3 = 1 \]
Revenim în relații și folosim: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1x_2 + x_3(x_1 + x_2) = 3 \Rightarrow x_1x_2 + 4 = 3 \Rightarrow x_1x_2 = -1 \]
Determinăm \(x_1, x_2\): \[ x_1 = 4 – x_2 \] \[ (4 – x_2)x_2 = -1 \Rightarrow 4x_2 – x_2^2 = -1 \] \[ -x_2^2 + 4x_2 + 1 = 0 \] \[ x_2^2 – 4x_2 – 1 = 0 \] \[ \Delta = 16 + 4 = 20,\quad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5} \] \[ x_2 = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]
Rezultă: \[ x_1 = 2 – \sqrt{5},\quad x_2 = 2 + \sqrt{5},\quad x_3 = 1 \]
Enunț. Fie \[ f = x^3 – 5x^2 + 3x + 1,\quad f \in \mathbb{C}[X]. \] Aflați rădăcinile lui \( f \), știind că \[ x_1 + x_2 = 4. \]
Rezolvare. Aplicăm relațiile lui Viète: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=3,\quad d=1 \] \[ \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -\frac{b}{a} = 5 \\[6pt] x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \frac{c}{a} = 3 \\[6pt] x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} = -1 \end{aligned} \right. \]
Din: \[ (x_1 + x_2) + x_3 = 5 \] \[ 4 + x_3 = 5 \Rightarrow x_3 = 1 \]
Revenim în relații și folosim: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1x_2 + x_3(x_1 + x_2) = 3 \Rightarrow x_1x_2 + 4 = 3 \Rightarrow x_1x_2 = -1 \]
Determinăm \(x_1, x_2\): \[ x_1 = 4 – x_2 \] \[ (4 – x_2)x_2 = -1 \Rightarrow 4x_2 – x_2^2 = -1 \] \[ -x_2^2 + 4x_2 + 1 = 0 \] \[ x_2^2 – 4x_2 – 1 = 0 \] \[ \Delta = 16 + 4 = 20,\quad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5} \] \[ x_2 = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]
Rezultă: \[ x_1 = 2 – \sqrt{5},\quad x_2 = 2 + \sqrt{5},\quad x_3 = 1 \]
