Puncte de extrem
Observație:
• \(x_0\) reprezintă punctul de pe axa \(Ox\) unde funcția atinge maximul.
• \(f(x_0)\) reprezintă valoarea maximă a funcției.
• \((x_0,f(x_0))\) reprezintă punctul de pe grafic unde se atinge maximul relativ.
Fie funcția \( f:D\to\mathbb{R},\ D\subset\mathbb{R}. \)
Un punct \( x_0\in D \) se numește punct de minim relativ (local)
al funcției \( f \) dacă există o vecinătate \( V \) a punctului \( x_0 \),
astfel încât pentru orice \( x\in V\cap D \), are loc relația:
\( f(x)\geq f(x_0). \)
Observație:
• \(x_0\) reprezintă punctul de pe axa \(Ox\) unde funcția atinge minimul.
• \(f(x_0)\) reprezintă valoarea minimă a funcției.
• \((x_0,f(x_0))\) reprezintă punctul de pe grafic unde se atinge minimul relativ.
Fie funcția \( f:D\to\mathbb{R},\ D\subset\mathbb{R}. \)
Un punct \( x_0\in D \) se numește punct de maxim absolut al funcției \( f \) dacă are loc relația:
\( f(x)\leq f(x_0),\ \forall x\in D. \)
Fie funcția \( f:D\to\mathbb{R},\ D\subset\mathbb{R}. \)
Un punct \( x_0\in D \) se numește punct de minim absolut al funcției \( f \) dacă are loc relația:
\( f(x)\geq f(x_0),\ \forall x\in D. \)
Punctele de maxim absolut și de minim absolut se numesc puncte de extrem absolut.
Teorema lui FERMAT
\[
\left.
\begin{array}{l}
f:[a,b]\to\mathbb{R}\\[6pt]
x_0\in(a,b)\ -\ \text{punct de extrem al funcției } f\\[6pt]
f \text{ derivabilă în } x_0
\end{array}
\right\}
\Rightarrow f'(x_0)=0
\]
Interpretare geometrică: Într-un punct de extrem din interiorul unui interval, tangenta la graficul unei funcții derivabile este paralelă cu axa \(Ox\), adică \(f'(x_0)=0\).
Observații
1. Dacă punctul de extrem se află la unul dintre capetele intervalului și nu în interiorul acestuia, atunci funcția poate fi derivabilă în acel punct, fără ca derivata să fie egală cu zero.
Exemplu. Se consideră funcția \( f:[1,3]\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2. \) Verificați aplicabilitatea teoremei lui Fermat pentru funcția \(f\).
Rezolvare.
\( f(x)=x^2\Rightarrow f'(x)=2x \)
\( x\in[1,3]\Rightarrow x>0\Rightarrow 2x>0\Rightarrow f'(x)>0 \)
\( f'(x)\neq 0,\quad \forall x\in[1,3] \)
Nu sunt respectate criteriile teoremei lui Fermat, întrucât \(1\notin(1,3)\).
2. Dacă funcția nu este derivabilă într-un punct de extrem, atunci teorema lui Fermat nu poate fi aplicată în acel punct.
Exemplu. Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=|x|. \) Verificați aplicabilitatea teoremei lui Fermat pentru funcția \(f\).
Rezolvare.
\( f(0)=0 \)
\( f(x)\geq 0,\quad \forall x\in\mathbb{R} \)
Rezultă că funcția are minim în \( x_0=0 \).
\( f’_s(0)=-1 \)
\( f’_d(0)=1 \)
\( f’_s(0)\neq f’_d(0) \)
Funcția nu este derivabilă în \( x_0=0 \).
Nu sunt respectate criteriile teoremei lui Fermat.
Dacă funcția \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) este derivabilă, atunci zerourile derivatei \(f’\) din intervalul deschis \((a,b)\) se numesc puncte critice ale funcției.
Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem ale unei funcții derivabile sunt printre punctele critice ale funcției.
