Definiții
1. Definiția funcției de gradul I
• Funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax+b \), \( a,b\in\mathbb{R} \), se numește funcție afină;
• Funcția afină \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax+b \), \( a\neq 0 \), \( a,b\in\mathbb{R} \), se numește funcție de gradul I;
• Funcția afină \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=c \), \( c\in\mathbb{R} \), se numește funcția constantă;
2. Intersecția graficului cu axele de coordonate
Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax+b \), \( a\neq 0 \), \( a,b\in\mathbb{R} \).
• \( G_f\cap Ox:\ f(x)=0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a} \Rightarrow A\left(-\frac{b}{a};0\right) \)
și
• \( G_f\cap Oy:\ x=0 \Rightarrow y=f(0) \Rightarrow B(0,b) \)
3. Reprezentarea geometrică
\( G_f \) a graficului funcției de gradul I este o dreaptă.
4. Monotonia funcției de gradul I
Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax+b \), \( a\neq 0 \), \( a,b\in\mathbb{R} \).
• Dacă \( a>0 \Rightarrow f \) este strict crescătoare;
• Dacă \( a<0 \Rightarrow f \) este strict descrescătoare;
5. Semnul funcției de gradul I
Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax+b \), \( a\neq 0 \), \( a,b\in\mathbb{R} \).
• Se rezolvă ecuația \( f(x)=0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a},\ a\neq 0 \);
• Se întocmește tabelul de valori al funcției:
Exerciții rezolvate
1. Fie funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=2x-3 \).
i) Calculați \( 2f(-1)-f\left(\frac{1}{2}\right)+3f(2) \);
ii) Determinați \( a\in\mathbb{R} \) astfel încât \( A(-3,2a-1)\in G_f \).
Rezolvare:
i)
\( 2f(-1)-f\left(\frac{1}{2}\right)+3f(2)
=2\cdot[2\cdot(-1)-3]-\left(2\cdot\frac{1}{2}-3\right)+3\cdot(2\cdot2-3)
=2\cdot(-5)-(-2)+3\cdot1=-10+2+3 \)
\( =-5. \)
ii) \( A(-3,2a-1)\in G_f \Leftrightarrow f(-3)=2a-1 \)
\( f(-3)=2\cdot(-3)-3=-6-3=-9 \). Rezultă \( 2a-1=-9 \Rightarrow 2a=-8 \Rightarrow a=-4. \)
2. Fie funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=4x-2 \).
i) Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției \( f \) cu axele de coordonate \( Ox \) și \( Oy \);
ii) Reprezentați grafic funcția \( f \).
iii) Să se calculeze aria suprafeței plane limitate de axele de coordonate și graficul funcției \( f \).
Rezolvare:
i) \( G_f\cap Ox:\ f(x)=0\Rightarrow 4x-2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2} \Rightarrow A\left(\frac{1}{2},0\right). \)
\( G_f\cap Oy:\ x=0\Rightarrow y=f(0)=-2\Rightarrow B(0,-2). \)
ii) Se reprezintă cele două puncte \( A \) și \( B \) într-un reper cartezian \( xOy \) și se trasează dreapta care trece prin cele două puncte.
iii) \( \triangle AOB,\ m(\widehat{AOB})=90^\circ \Rightarrow A_{\triangle AOB}=\frac{c_1\cdot c_2}{2} =\frac{OA\cdot OB}{2} =\frac{\frac{1}{2}\cdot 2}{2} =\frac{1}{2}. \)
3. Să se studieze monotonia funcțiilor:
i) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-2x+1 \);
ii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=3x-5 \);
iii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=(a-2)x+3 \), \( a\neq 2 \).
Rezolvare:
i) \( f(x)=-2x+1 \Rightarrow a=-2<0 \Rightarrow f \) este strict descrescătoare pe \( \mathbb{R} \);
ii) \( f(x)=3x-5 \Rightarrow a=3>0 \Rightarrow f \) este strict crescătoare pe \( \mathbb{R} \);
iii)
Dacă \( a-2>0 \Rightarrow a>2 \Rightarrow f \) este strict crescătoare pe \( \mathbb{R} \);
Dacă \( a-2<0 \Rightarrow a<2 \Rightarrow f \) este strict descrescătoare pe \( \mathbb{R} \).
4. Determinați semnul funcțiilor:
i) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-2x+6 \);
ii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=4x-16 \).
Rezolvare:
i) Se rezolvă ecuația \( f(x)=0\Rightarrow -2x+6=0\Rightarrow x=3 \).
Concluzie: \( f(x)>0 \) dacă \( x\in(-\infty,3) \) și \( f(x)<0 \) dacă \( x\in(3,+\infty) \).
ii) Se rezolvă ecuația \( f(x)=0\Rightarrow 4x-16=0\Rightarrow x=4 \).
Concluzie: \( f(x)>0 \) dacă \( x\in(4,+\infty) \) și \( f(x)<0 \) dacă \( x\in(-\infty,4) \).
Exerciții propuse
1. Fie funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=3x-4 \).
i) Calculați \( 2f(1)-f(-2)+3f\left(\frac{1}{3}\right) \);
ii) Determinați \( a\in\mathbb{R} \) astfel încât \( A(2,3a-1)\in G_f \).
2. Fie funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=2x-6 \).
i) Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției \( f \) cu axele de coordonate \( Ox \) și \( Oy \);
ii) Reprezentați grafic funcția \( f \);
iii) Să se calculeze aria suprafeței plane limitate de axele de coordonate și graficul funcției \( f \).
3. Să se studieze monotonia funcțiilor:
i) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-5x+2 \);
ii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=4x-7 \);
iii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=(a+1)x-2 \), \( a\neq -1 \).
4. Determinați semnul funcțiilor:
i) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-3x+9 \);
ii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=5x-10 \).
