Definiție
Fie sistemul de ecuații \( (S): \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1 \\[4pt] a_2x+b_2y=c_2 \end{array} \right. \), \( a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{R} \). O soluție a sistemului \( (S) \) este o pereche \( (x_0,y_0)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \) cu proprietatea că \( a_1x_0+b_1y_0=c_1 \) și \( a_2x_0+b_2y_0=c_2 \).
• Dacă sistemul \( (S) \) are soluție unică, atunci dreptele asociate celor două ecuații ale sistemului sunt concurente, iar soluția sistemului reprezintă coordonatele punctului de intersecție al celor două drepte;
• Dacă sistemul \( (S) \) nu are nicio soluție, atunci dreptele asociate celor două ecuații ale sistemului sunt paralele;
Exerciții rezolvate
1. Să se rezolve sistemul de ecuații \[ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=3 \\[4pt] 3x+y=2 \end{array} \right. \] folosind metoda substituției și metoda reducerii.
Rezolvare:
i) Metoda substituției
\[ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=3 \\[4pt] 3x+y=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3+2y \\[4pt] 3(3+2y)+y=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3+2y \\[4pt] 9+6y+y=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3+2y \\[4pt] 7y=-7 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\[4pt] y=-1 \end{array} \right. \]
ii) Metoda reducerii
\[ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=3 \\[4pt] 3x+y=2 \end{array} \right. \ \Bigg| \cdot 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2y=3 \\[4pt] 6x+2y=4 \end{array} \right. \Rightarrow 7x=7 \Rightarrow x=1 \]
Înlocuind în una dintre relațiile sistemului, obținem: \[ 1-2y=3 \Rightarrow -2y=2 \Rightarrow y=-1 \]
Prin urmare, soluția sistemului este: \[ S=\{(1,-1)\}. \]
2. Să se rezolve sistemul de ecuații \( \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=7 \\[3pt] x-y=2 \end{array} \right. \) folosind metoda substituției și metoda reducerii.
Rezolvare:
i) Metoda substituției
\( \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=7 \\[3pt] x-y=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=7 \\[3pt] x=2+y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(2+y)+y=7 \\[3pt] x=2+y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4+2y+y=7 \\[3pt] x=2+y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3y=3 \\[3pt] x=2+y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1 \\[3pt] x=3 \end{array} \right. \)
ii) Metoda reducerii
\( \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=7 \\[3pt] x-y=2 \end{array} \right. \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3 \), și înlocuind în una din relațiile sistemului se obține \( 3-y=2 \Rightarrow -y=-1 \Rightarrow y=1 \).
\( S=\{(3,1)\} \).
Exerciții propuse
i) \( \left\{ \begin{array}{l} 9x+4y=17 \\[3pt] 15x-13y=-1 \end{array} \right. \);
ii) \( \left\{ \begin{array}{l} 3(x+5)-2(y+6)=2x+3y+25 \\[3pt] 4x-3y=2(x+3)+10 \end{array} \right. \);
iii) \( \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-2}{3}+\frac{y+1}{2}=3 \\[8pt] \frac{x-1}{2}+\frac{y+3}{3}=4 \end{array} \right. \);
iv) \( \left\{ \begin{array}{l} \frac{x-y+3}{4}-x=\frac{x+y+2}{6}-\frac{8}{3} \\[8pt] \frac{2x-y-1}{3}-\frac{x-2y-2}{4}=\frac{x+y}{2}-1 \end{array} \right. \);
v) \( \left\{ \begin{array}{l} 3\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=12 \\[3pt] 5\sqrt{2}x-3\sqrt{3}y=-8 \end{array} \right. \);
vi) \( \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt{5}x+3\sqrt{5}y=19 \\[3pt] 3\sqrt{5}x-4\sqrt{3}y=3 \end{array} \right. \);
vii) \( \left\{ \begin{array}{l} 3x-4y=7-\sqrt{3} \\[3pt] (\sqrt{3}-1)x+2(\sqrt{3}+1)y=6 \end{array} \right. \).
