Definiții
Relațiile lui Viète
Definiție.
Fie ecuația de gradul al doilea
\(ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0\), cu rădăcinile \(x_1\) și \(x_2\).
Relațiile lui Viète stabilesc legătura dintre rădăcinile ecuației și coeficienții acesteia:
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\[6pt]
x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
\end{cases}
\]
Observație.
Suma rădăcinilor este egală cu opusul coeficientului lui \(x\), împărțit la coeficientul lui \(x^2\).
Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, împărțit la coeficientul lui \(x^2\).
Suma rădăcinilor este egală cu opusul coeficientului lui \(x\), împărțit la coeficientul lui \(x^2\).
Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, împărțit la coeficientul lui \(x^2\).
Formule utile
\[
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2
\]
\[
x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)
\]
\[
|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}
\]
Exemple rezolvate
Exemplul 1.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-2x-3=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Rezolvare:
Aplicăm relațiile lui Viète:
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=2\\
x_1x_2=-3
\end{cases}
\]
Calculăm expresia:
\[
\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}
=
\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}
=
\frac{2}{-3}
=
-\frac{2}{3}
\]
Exemplul 2.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-5x+6=0\), calculați \(x_1^2+x_2^2\).
Rezolvare:Aplicăm relațiile lui Viète: \[ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=6 \end{cases} \] Folosim formula: \[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \] Calculăm expresia: \[ x_1^2+x_2^2 = 5^2-2\cdot 6 = 25-12 = 13 \]
Exemplul 3.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-3x+2=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\).
Rezolvare:Aplicăm relațiile lui Viète: \[ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2 \end{cases} \] Calculăm expresia: \[ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} \] \[ x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = 3^2-2\cdot2 = 5 \] \[ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2} \]
Exemplul 4.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-4x+2=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}\).
Rezolvare:Aplicăm relațiile lui Viète: \[ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2 \end{cases} \] Calculăm expresia: \[ \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2} = \frac{1+x_2+1+x_1}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{x_1+x_2+2}{1+x_1+x_2+x_1x_2} = \frac{4+2}{1+4+2} = \frac{6}{7} \]
Exemplul 5.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-2x-1=0\), calculați \(x_1^3+x_2^3\).
Rezolvare:Aplicăm relațiile lui Viète: \[ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-1 \end{cases} \] Folosim formula: \[ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \] Calculăm expresia: \[ x_1^3+x_2^3 = 2^3-3\cdot(-1)\cdot2 = 8+6 = 14 \]
Exemplul 6.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-6x+5=0\), calculați \(|x_1-x_2|\).
Rezolvare:Aplicăm relațiile lui Viète: \[ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=5 \end{cases} \] Folosim formula: \[ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} \] Calculăm expresia: \[ |x_1-x_2| = \sqrt{6^2-4\cdot5} = \sqrt{36-20} = \sqrt{16} = 4 \]
Exemple propuse
Exercițiul 1.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-7x+10=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Exercițiul 2.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-8x+12=0\), calculați
\(x_1^2+x_2^2\).
Exercițiul 3.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-5x+4=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\).
Exercițiul 4.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-3x+1=0\), calculați
\(\displaystyle \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}\).
Exercițiul 5.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-4x-1=0\), calculați
\(x_1^3+x_2^3\).
Exercițiul 6.
Fără a rezolva ecuația \(x^2-10x+21=0\), calculați
\(|x_1-x_2|\).
