Definiție
Fie funcția \( f:D \to \mathbb{R} \). Funcția \( f \) se numește de două ori derivabilă într-un punct \( x_0 \in D \) dacă:
- funcția \( f \) este derivabilă într-o vecinătate a lui \( x_0 \);
- funcția \( f' \) este derivabilă în punctul \( x_0 \).
\( f''(x_0) \) se numește derivata de ordinul doi sau derivata a doua a funcției \( f \) în punctul \( x_0 \).
Observații
- Dacă funcția \( f \) este derivabilă doar în punctul \( x_0 \), atunci derivata a doua nu se poate calcula în acel punct.
- Pentru existența derivatei a doua, funcția trebuie să fie derivabilă într-o vecinătate a lui \( x_0 \).
- Dacă funcția \( f \) este de două ori derivabilă în \( x_0 \), atunci derivata sa \( f' \) există într-o vecinătate a lui \( x_0 \).
Exemple rezolvate
Exemplu 1. Să se studieze dacă funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x^2-3x+4,\ x_0=1 \), este de două ori derivabilă în punctul \( x_0=1 \).
Rezolvare:
Funcția \( f \) este o funcție polinomială, deci este derivabilă pe \( \mathbb{R} \), prin urmare, este derivabilă într-o vecinătate a lui \( x_0=1 \).
\[ f'(x)=\left(2x^2-3x+4\right)'=4x-3 \]
Funcția \( f' \) este o funcție polinomială, deci este derivabilă pe \( \mathbb{R} \), prin urmare, este derivabilă într-o vecinătate a lui \( x_0=1 \).
\[ f''(x)=\left(f'(x)\right)'=\left(4x-3\right)'=4 \]
\[ f''(1)=4 \]
Deoarece \( f''(1) \) există, rezultă că funcția \( f \) este de două ori derivabilă în punctul \( x_0=1 \).
