Determinarea intervalelor de monotonie
Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \), cu \( a<b \).
Dacă:
a) funcția \( f \) este continuă pe intervalul \( [a,b] \);
b) funcția \( f \) este derivabilă pe intervalul deschis \( (a,b) \),
atunci există cel puțin un punct \( c\in(a,b) \), astfel încât \( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \).
Fie \( f:I\to\mathbb{R} \) o funcție derivabilă pe intervalul \( I \). Atunci:
a) funcția \( f \) este monoton crescătoare pe intervalul \( I \), dacă și numai dacă \( f'(x)\ge 0,\ \forall x\in I \);
b) funcția \( f \) este monoton descrescătoare pe intervalul \( I \), dacă și numai dacă \( f'(x)\le 0,\ \forall x\in I \).
• Dacă \( f'(x)>0,\ \forall x\in I \), atunci funcția \( f \) este strict crescătoare pe intervalul \( I \).
• Dacă \( f'(x)<0,\ \forall x\in I \), atunci funcția \( f \) este strict descrescătoare pe intervalul \( I \).
• Dacă \( f'(x)=0,\ \forall x\in I \), atunci funcția \( f \) este constantă pe intervalul \( I \).
- se calculează derivata \( f' \) a funcției \( f \) pe domeniul de derivabilitate \( D_f\subset D \);
- se rezolvă ecuația \( f'(x)=0,\ x\in D_f \);
- se determină semnul funcției \( f' \) pe intervalele pe care aceasta nu se anulează;
- se stabilesc intervalele de monotonie în funcție de semnul derivatei.
Exemple rezolvate
Determinarea punctelor de extrem
Fie \(f:D\to \mathbb{R}\) o funcție reală.
➢ Un punct \(x_0\in D\) se numește punct de maxim absolut al funcției \(f\) dacă \(f(x)\le f(x_0),\ \forall x\in D\), \(f(x_0)\) se numește maximul absolut al funcției.
➢ Un punct \(x_0\in D\) se numește punct de minim absolut al funcției \(f\) dacă \(f(x)\ge f(x_0),\ \forall x\in D\), \(f(x_0)\) se numește minimul absolut al funcției.
Observație. Punctele maxime absolute și minime absolute se numesc puncte de extrem absolut ale funcției \(f\).
TEOREMA lui Fermat
Fie \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) și \(x_0\in(a,b)\) un punct de extrem al funcției \(f\). Dacă funcția \(f\) este derivabilă în punctul \(x_0\), atunci \(f'(x_0)=0\).
Pentru determinarea punctelor de extrem ale unei funcții derivabile, se parcurg, în general, următoarele etape:
➢ Se determină punctele critice ale funcției, adică valorile lui \(x\) pentru care
\[ f'(x)=0 \]
➢ Se studiază semnul derivatei \(f'\) pe intervalele determinate de punctele critice.
➢ Se întocmește tabelul de variație al funcției.
➢ Se identifică punctele de extrem:
- dacă \(f'\) își schimbă semnul din „+” în „−”, atunci funcția are un maxim local;
- dacă \(f'\) își schimbă semnul din „−” în „+”, atunci funcția are un minim local.
➢ Se calculează valorile funcției în punctele de extrem, determinând astfel extremele funcției.
