Subiectul I
a) \(0\)
b) \(1\)
c) \(2\)
d) \(4\)
Rezolvare. \((2^0+2^1+2^2):(2^3-1)=\frac{1+2+4}{8-1}=\frac{7}{7}=1\)
Răspuns: b) \(1\)
a) \(4,(6)\)
b) \(5\)
c) \(5,5\)
d) \(6,5\)
Rezolvare. \(\frac{a}{3}=\frac{13}{2}\Rightarrow a=\frac{39}{2}\Rightarrow \frac{a-3}{3}=\frac{\frac{39}{2}-3}{3}=\frac{\frac{39}{2}-\frac{6}{2}}{3}=\frac{\frac{33}{2}}{3}=\frac{33}{6}=\frac{11}{2}=5,5\)
Răspuns: c) \(5,5\)
a) \(36\) lei
b) \(40\) lei
c) \(44\) lei
d) \(4,4\) lei
Rezolvare. Notăm cu \(P\) prețul cărții înainte de reducere.
Reducerea: \(\frac{10}{100}\cdot P\)
\(\frac{P}{10}=4\Rightarrow P=40\) lei
Răspuns: b) \(40\) lei
a) \(1\)
b) \(3\)
c) \(5\)
d) \(7\)
Rezolvare. \(M_A=\frac{a+b}{2}=\frac{6-\sqrt{11}+6+\sqrt{11}}{2}=\frac{12}{2}=6,\; M_G=\sqrt{ab}=\sqrt{(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5\Rightarrow M_A-M_G=6-5=1\)
Răspuns: a) \(1\)
a) Arina
b) Cristi
c) Maria
d) Dan
| Arina | Cristi | Maria | Dan |
| 15 | 17 | 24 | 27 |
Rezolvare. \(3x+9y+12=3(x+3y)+12=3\cdot5+12=15+12=27\)
Răspuns: d) Dan
a) adevărată
b) falsă
Rezolvare. Notăm vârstele cu \(x\) și \(y\), \(x+y=22\). Peste \(22\) ani: \((x+22)+(y+22)=x+y+44=22+44=66\), iar dublul sumei actuale este \(2\cdot22=44\Rightarrow 66\neq44\).
Răspuns: b) falsă
Subiectul II
b) \(7\ cm\)
c) \(8\ cm\)
d) \(9\ cm\)
Punctele \(A,B,C,D\) sunt coliniare în această ordine.
\(M\) este mijlocul segmentului \(AD\).
\(MD=10\ cm\Rightarrow AD=2\cdot MD=20\ cm\).
Pe segmentul \(AD\) avem: \[ AD=AB+BC+CD \] \[ 20=2+BC+11 \] \[ 20=13+BC \] \[ BC=7 \] Răspuns: \(BC=7\ cm\).
b) \(110^\circ\)
c) \(130^\circ\)
d) \(140^\circ\)
\(AB\parallel CD\).
Rezultă că \(\angle ABC=\angle BCD=50^\circ\) (unghiuri alterne interne).
În triunghiul \(ABC\), suma măsurilor unghiurilor este \(180^\circ\).
\[ x+y+50^\circ=180^\circ \] \[ x+y=130^\circ \] Răspuns: \(130^\circ\).
a) \(15\,cm\)
b) \(20\,cm\)
c) \(35\,cm\)
d) \(30\,cm\)
\(E\) și \(F\) sunt mijloacele lui \(AB\) și \(AC\), rezultă \(EF\) linie mijlocie în triunghiul \(ABC\), rezultă \(EF=\frac{BC}{2}\).
\(D\) este proiecția lui \(A\) pe \(BC\).
În triunghiul \(ABD\), avem \(ED\) mediană, rezultă că \(AE=BE=ED\).
În triunghiul \(ACD\), \(DF\) mediană, rezultă \(DF=AF=FC\).
Perimetrul triunghiului \(DEF\) este:
\(P_{DEF}=DE+EF+DF\)
\(P_{DEF}=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}+\frac{AC}{2}\)
\(P_{DEF}=\frac{AB+BC+AC}{2}\)
\(P_{DEF}=\frac{60}{2}=30\,cm\)
Răspuns: d) \(30\,cm\)
a) \(30\,cm^2\)
b) \(40\,cm^2\)
c) \(60\,cm^2\)
d) \(80\,cm^2\)
Rezolvare.
Unim punctele \(M\) și \(D\).
\(M\) este mijlocul lui \(AB\), rezultă \(BM=\frac{AB}{2}\).
Patrulaterul \(BCDM\) este un trapez.
\(A_{BCDM}=\frac{(CD+BM)\cdot BC}{2}\)
\(A_{BCDM}=\frac{\left(AB+\frac{AB}{2}\right)\cdot BC}{2}=\frac{\frac{3AB}{2}\cdot BC}{2}=\frac{3AB\cdot BC}{4}\)
\(A_{BCDM}=\frac{3\cdot 120}{4}=90\,cm^2\)
Rezultă \(A_{ADM}=120-90=30\,cm^2\).
În triunghiul \(DMC\), punctul \(N\) este mijlocul segmentului \(MC\).
Rezultă că \(DN\) este mediană în triunghiul \(DMC\).
Deci \(A_{DMN}=\frac{A_{DMC}}{2}\).
Dar \(A_{DMC}=A_{BCDM}-A_{BMC}\).
\(A_{BMC}=\frac{BC\cdot BM}{2}=\frac{BC\cdot \frac{AB}{2}}{2}=\frac{AB\cdot BC}{4}=\frac{120}{4}=30\,cm^2\)
Rezultă \(A_{DMC}=90-30=60\,cm^2\).
Atunci \(A_{DMN}=\frac{60}{2}=30\,cm^2\).
Prin urmare, \(A_{ADNM}=A_{ADM}+A_{DMN}=30+30=60\,cm^2\).
Răspuns: c) \(60\,cm^2\)
a) \(35^\circ\)
b) \(55^\circ\)
c) \(70^\circ\)
d) \(85^\circ\)
Rezolvare.
\(AB\) este diametru, deci arcul \(AB\) măsoară \(180^\circ\).
Arcul mic \(BC\) măsoară \(70^\circ\).
Rezultă că arcul \(AC=180^\circ-70^\circ=110^\circ\).
Unghiul central \(AOC\) are măsura \(110^\circ\).
În triunghiul \(AOC\), \(OA=OC\), deci triunghiul este isoscel.
\(\angle OCA=\angle OAC=\frac{180^\circ-110^\circ}{2}=35^\circ\).
Răspuns: a) \(35^\circ\)
a) \(18\,cm\)
b) \(36\,cm\)
c) \(64\,cm\)
d) \(72\,cm\)
Rezolvare.
Fața \(ABC\) este un triunghi echilateral.
Aria triunghiului echilateral este \(A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\).
\(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\)
\(\frac{l^2}{4}=36\)
\(l^2=144\Rightarrow l=12\,cm\)
Tetraedrul are \(6\) muchii egale.
Suma lungimilor muchiilor este \(6\cdot12=72\,cm\).
Răspuns: d) \(72\,cm\)
Subiectul III
1. Pe trei rafturi ale unei biblioteci se află în total 98 de cărți. Dacă de pe primul raft s-ar lua 11 cărți, de pe al doilea 12 cărți, iar de pe al treilea raft 21 de cărți, atunci pe al doilea raft ar rămâne dublul numărului de cărți rămase pe primul raft, iar pe al treilea raft ar rămâne un număr de 3 ori mai mare decât cel rămas pe primul raft.
(2p) a) Este posibil ca pe al doilea raft să fie 31 de cărți? Justifică răspunsul dat!
(3p) b) Determină câte cărți se află pe al treilea raft.
Notăm:
\(x\) – numărul de cărți de pe primul raft
\(y\) – numărul de cărți de pe al doilea raft
\(z\) – numărul de cărți de pe al treilea raft
Din enunț: \[ x+y+z=98 \] După ce se iau cărțile: \[ x-11,\quad y-12,\quad z-21 \] Condițiile din problemă: \[ y-12=2(x-11) \] \[ z-21=3(x-11) \]
a) Este posibil ca pe al doilea raft să fie \(31\) de cărți? \[ 31-12=2(x-11) \] \[ 19=2x-22 \] \[ 2x=41 \] \[ x=\frac{41}{2} \] Concluzie: Nu este posibil ca pe al doilea raft să fie 31 de cărți.
b) Determinăm câte cărți se află pe al treilea raft. \[ y-12=2(x-11) \] \[ y=2x-10 \] \[ z-21=3(x-11) \] \[ z=3x-12 \] Introducem în ecuația: \[ x+y+z=98 \] \[ x+(2x-10)+(3x-12)=98 \] \[ 6x-22=98 \] \[ 6x=120 \] \[ x=20 \] \[ y=2\cdot20-10=30 \] \[ z=3\cdot20-12=48 \] Răspuns: Pe al treilea raft se află \(48\) de cărți.
a) Arată că \(a=7\).
b) Arată că numărul \(x\) aparține intervalului \((0,1;\;0,(3))\), unde \[ x=a^{-1}+\frac{1}{b}-\frac{3}{a\cdot b}. \]
a) \[ a=\left(\frac{20}{\sqrt{1800}}-\frac{3}{\sqrt{72}}\right):\frac{\sqrt{2}}{84} \] \[ \sqrt{1800}=30\sqrt{2},\quad \sqrt{72}=6\sqrt{2} \] \[ a=\left(\frac{20}{30\sqrt{2}}-\frac{3}{6\sqrt{2}}\right):\frac{\sqrt{2}}{84} \] \[ a=\left(\frac{2}{3\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right):\frac{\sqrt{2}}{84} \] \[ a=\frac{1}{6\sqrt{2}}:\frac{\sqrt{2}}{84} \] \[ a=\frac{1}{6\sqrt{2}}\cdot\frac{84}{\sqrt{2}} \] \[ a=\frac{84}{12} \] \[ a=7 \] b) \[ b=(\sqrt{3}-3)^2-\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{75} \] \[ (\sqrt{3}-3)^2=3-6\sqrt{3}+9=12-6\sqrt{3} \] \[ \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2| \] \[ \sqrt{3}<2\Rightarrow |\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3} \] \[ \sqrt{75}=5\sqrt{3} \] \[ b=12-6\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})+5\sqrt{3} \] \[ b=12-6\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+5\sqrt{3} \] \[ b=10 \] \[ x=a^{-1}+\frac{1}{b}-\frac{3}{a\cdot b} \] \[ x=\frac{1}{7}+\frac{1}{10}-\frac{3}{70} \] \[ x=\frac{10}{70}+\frac{7}{70}-\frac{3}{70} \] \[ x=\frac{14}{70} \] \[ x=\frac{1}{5} \] \[ 0,1<\frac{1}{5}<0,(3) \] Concluzie: \(x\in(0,1;\;0,(3))\).
a) Arată că \(E(x)=-7x+3\), pentru orice număr real \(x\).
b) Determină toate numerele naturale \(n\) pentru care \(E(2)-E(n)+3 < E(-2)\).
a) \[ E(x)=(3x+4)^2-5(x+6)(x-6)+(x+8)(1-4x)-201 \] \[ (3x+4)^2=9x^2+24x+16 \] \[ (x+6)(x-6)=x^2-36 \] \[ (x+8)(1-4x)=x+8-4x^2-32x \] \[ E(x)=9x^2+24x+16-5(x^2-36)+x+8-4x^2-32x-201 \] \[ E(x)=9x^2+24x+16-5x^2+180+x+8-4x^2-32x-201 \] \[ E(x)=(9x^2-5x^2-4x^2)+(24x+x-32x)+(16+180+8-201) \] \[ E(x)=0x^2-7x+3 \] \[ E(x)=-7x+3 \] b) Din punctul a) avem: \[ E(x)=-7x+3 \] \[ E(2)=-7\cdot2+3=-11 \] \[ E(n)=-7n+3 \] \[ E(-2)=-7\cdot(-2)+3=17 \] \[ E(2)-E(n)+3<E(-2) \] \[ -11-(-7n+3)+3<17 \] \[ -11+7n-3+3<17 \] \[ 7n-11<17 \] \[ 7n<28 \] \[ n<4 \] \[ n\in\{0,1,2,3\} \] Răspuns: \(n=0,1,2,3\).
Exercițiul 4.
În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\) cu \(AB=12\,\text{cm}\). Punctul \(D\) este mijlocul laturii \(AC\) și \(DE \perp AB\), cu \(E \in AB\). Prin punctul \(B\) construim paralela la \(AC\), care intersectează dreapta \(DE\) în punctul \(F\).
(2p) a) Arătați că lungimea segmentului \(BD\) este mai mare decât \(10\,\text{cm}\).
(3p) b) Calculați aria trapezului \(ADBF\).
Rezolvare
a) Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(AB=BC=CA=12\). Punctul \(D\) este mijlocul lui \(AC\), iar \(BD\) este mediană și înălțime, deci
$$ BD=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}. $$Deoarece \(\sqrt{3}\approx1.732\), rezultă \(BD\approx10.392>10\), deci \(BD>10\,\text{cm}\).
b) În triunghiul dreptunghic \(ABD\), aplicăm teorema catetei:
$$ AD^2=AE\cdot AB \Rightarrow 6^2=AE\cdot 12 \Rightarrow AE=3. $$Rezultă
$$ BE=AB-AE=12-3=9. $$În același triunghi, aplicăm teorema înălțimii:
$$ DE^2=AE\cdot BE=3\cdot 9=27 \Rightarrow DE=3\sqrt{3}. $$Din asemănarea triunghiurilor \(AED\) și \(BEF\) rezultă
$$ \frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{9}{3}=3 \Rightarrow BF=3\cdot 6=18. $$Deoarece \(AD\parallel BF\), patrulaterul \(ADBF\) este trapez. Bazele sunt \(AD=6\) și \(BF=18\), iar înălțimea este distanța dintre dreptele paralele \(AD\) și \(BF\), adică \(BD=6\sqrt{3}\). Prin urmare
$$ A_{ADBF}=\frac{(AD+BF)\cdot BD}{2}=\frac{(6+18)\cdot 6\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}\ \text{cm}^2. $$Exercițiul 5.
În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AC \cap BD=\{O\}\), \(AB=12\sqrt{3}\,\text{cm}\) și \(BC=12\,\text{cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\), iar punctul \(E\) este situat pe diagonala \(AC\) astfel încât \(AE=3EC\).
fig. 2
(2p) a) Arătați că unghiul \(ACD\) are măsura de \(30^\circ\).
(3p) b) Dacă \(OM\cap BE=\{F\}\), demonstrați că \(CF\perp BD\).
Rezolvare
a) În dreptunghiul \(ABCD\), avem \(AB\perp BC\) și \(AB\parallel CD\), \(AD\parallel BC\). Considerăm triunghiul dreptunghic \(ACD\), dreptunghic în \(D\).
Avem
$$ AD=BC=12, \qquad CD=AB=12\sqrt{3}. $$Prin urmare
$$ \tan(\angle ACD)=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{12\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. $$Rezultă
$$ \angle ACD=30^\circ. $$b) Din \(\angle DCA=30^\circ\) rezultă \(\angle OCB=60^\circ\). \(ABCD\) dreptunghi, \(AC\cap BD=\{O\}\Rightarrow OC=OB\Rightarrow \triangle BOC\) este isoscel; cum \(\angle OCB=60^\circ\) rezultă că \(\triangle OBC\) este echilateral, de unde \(OB=OC=BC=12\,\text{cm}\) și \(AC=24\,\text{cm}\).
\(AE=3\cdot EC\Rightarrow AC=4\cdot EC\Rightarrow EC=6\,\text{cm}\), deci \(E\) este mijlocul segmentului \(OC\).
În \(\triangle OBC\) echilateral, \(BE\) și \(OM\) sunt mediane, deci sunt și înălțimi; cum \(BE\cap OM=\{F\}\), rezultă că \(F\) este ortocentrul, deci
$$ CF\perp BD. $$Exercițiul 6.
În figura de mai jos este reprezentată prisma dreaptă \(ABCDA’B’C’D’\) cu baza pătratul \(ABCD\), în care \(AB=8\sqrt{2}\,\text{cm}\) și \(AA’=8\sqrt{3}\,\text{cm}\). \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor \(AC\) și \(BD\), iar \(M\) este punctul de intersecție al diagonalelor \(BC’\) și \(B’C\).
fig. 3
(2p) a) Demonstrează că \(OM \parallel (AB’D’)\).
(3p) b) Calculează sinusul unghiului format de dreptele \(OM\) și \(A’B\).
Rezolvare
a) \(ABCD\) pătrat \(\Rightarrow O\) este mijlocul segmentului \(AC\), iar \(BCC’B’\) dreptunghi \(\Rightarrow M\) este mijlocul segmentului \(B’C\); rezultă că \(OM\) este linie mijlocie în \(\triangle ACB’\Rightarrow OM\parallel AB’\). Cum \(AB’\subset(AB’D’)\), rezultă
$$ OM\parallel(AB’D’). $$b) \(OM\parallel AB’\Rightarrow \angle(OM,A’B)=\angle(AB’,A’B)=\angle ANB\), unde \(N=A’B\cap AB’\). Cum \(ABB’A’\) este dreptunghi, \(\triangle A’AB\) este dreptunghic în \(A\), deci
$$ A’B=\sqrt{A’A^2+AB^2}=\sqrt{(8\sqrt3)^2+(8\sqrt2)^2}=8\sqrt5. $$Rezultă \(AN=BN=\frac{A’B}{2}=4\sqrt5\,\text{cm}\). Aria triunghiului \(ABB’\) este
$$ A_{ABB’}=\frac{AB\cdot AA’}{2}=\frac{8\sqrt2\cdot8\sqrt3}{2}=16\sqrt6\,\text{cm}^2. $$Deoarece \(N\) este mijlocul lui \(A’B\), rezultă \(A_{ANB}=\frac{A_{ABB’}}{4}=4\sqrt6\,\text{cm}^2\). Pe de altă parte
$$ A_{ANB}=\frac{AN\cdot BN\cdot\sin\angle ANB}{2}=\frac{4\sqrt5\cdot4\sqrt5\cdot\sin\angle ANB}{2}. $$Egalând ariile rezultă
$$ \frac{4\sqrt5\cdot4\sqrt5\cdot\sin\angle ANB}{2}=4\sqrt6\Rightarrow \sin\angle ANB=\frac{2\sqrt6}{5}. $$Prin urmare
$$ \sin\angle(OM,A’B)=\frac{2\sqrt6}{5}. $$