Pe această pagină găsiți probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații, prezentate gradual și explicate clar. Veți avea la dispoziție atât exerciții rezolvate pas cu pas, cât și probleme propuse pentru antrenament, utile pentru înțelegerea metodei și pentru exersare.
Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuațiilor
1) alegerea necunoscutei – se notează cu o literă mărimea necunoscută din problemă;
2) obținerea ecuației – pe baza relațiilor din enunț se scrie o egalitate matematică ce exprimă legătura dintre mărimi;
3) rezolvarea ecuației – se determină valoarea necunoscutei;
4) interpretarea rezultatului – se verifică dacă soluția obținută respectă condițiile problemei și se formulează răspunsul cerut.
1) alegerea necunoscutei – se notează cu o literă mărimea necunoscută din problemă;
2) obținerea ecuației – pe baza relațiilor din enunț se scrie o egalitate matematică ce exprimă legătura dintre mărimi;
3) rezolvarea ecuației – se determină valoarea necunoscutei;
4) interpretarea rezultatului – se verifică dacă soluția obținută respectă condițiile problemei și se formulează răspunsul cerut.
Exemple rezolvate
Exemplul 1. Suma a două numere naturale este 28. Unul dintre numere este cu 6 mai mare decât celălalt. Determinați cele două numere.
Rezolvare.
Notăm cu \(x\) numărul mai mic. Rezultă că celălalt număr este \(x+6\).
\[
x+(x+6)=28 \Rightarrow 2x+6=28 \Rightarrow 2x=22 \Rightarrow x=11
\]
Rezultă că numerele sunt \(11\) și \(17\).
Exemplul 2. Suma a trei numere naturale consecutive este 72. Determinați cele trei numere.
Rezolvare.
Notăm cu \(a\) primul număr. Rezultă că următoarele două numere sunt \(a+1\) și \(a+2\).
\[
a+(a+1)+(a+2)=72 \Rightarrow 3a+3=72 \Rightarrow 3a=69 \Rightarrow a=23
\]
Rezultă că numerele sunt \(23\), \(24\) și \(25\).
Exemplul 3. Suma a trei numere naturale consecutive impare este 45. Determinați cele trei numere.
Rezolvare.
Notăm cu \(2k+1\) primul număr impar. Rezultă că următoarele două numere impare sunt \(2k+3\) și \(2k+5\).
\[
(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)=45 \Rightarrow 6k+9=45 \Rightarrow 6k=36 \Rightarrow k=6
\]
Rezultă că numerele sunt \(13\), \(15\) și \(17\). Exemplul 4. Suma a două numere naturale este 34, iar diferența lor este 8. Determinați cele două numere.
Rezolvare.
Notăm cu \(a\) și \(b\) cele două numere.
\[
\begin{cases}
a+b=34\\
a-b=8
\end{cases}
\]
\[
\Rightarrow 2a=42 \Rightarrow a=21 \Rightarrow b=34-21=13
\]
Rezultă că numerele sunt \(21\) și \(13\).
Exemplul 5. Într-un bloc sunt 24 de apartamente cu 2 camere și cu 3 camere. Numărul apartamentelor cu 2 camere este cu 6 mai mare decât numărul apartamentelor cu 3 camere. Determinați câte apartamente sunt de fiecare fel.
Rezolvare.
Notăm cu \(a\) numărul apartamentelor cu 2 camere și cu \(b\) numărul apartamentelor cu 3 camere.
\[
\begin{cases}
a+b=24\\
a=b+6
\end{cases}
\]
\[
\Rightarrow (b+6)+b=24 \Rightarrow 2b+6=24 \Rightarrow 2b=18 \Rightarrow b=9 \Rightarrow a=15
\]
Rezultă că sunt \(15\) apartamente cu 2 camere și \(9\) apartamente cu 3 camere.
Exemplul 6. Determină două numere, știind că, împărțind pe unul dintre acestea la celălalt, se obțin câtul 7 și restul 14, iar suma dintre deîmpărțit, împărțitor, cât și rest este 331.
Rezolvare.
Notăm cu \(D\) deîmpărțitul și cu \(I\) împărțitorul.
\(D = I \cdot C + R\)
\[ D = 7I + 14 \] \[ D + I + 7 + 14 = 331 \] \[ \Rightarrow (7I+14)+I+21=331 \Rightarrow 8I+35=331 \Rightarrow 8I=296 \Rightarrow I=37 \] Rezultă \(D=7\cdot37+14=273\). Rezultă că numerele sunt \(273\) și \(37\).
Exemplul 7. Suma a trei numere este 360. Primul număr este 20% din al doilea, iar al treilea este 150% din primul număr. Determinați cele trei numere.
Rezolvare.
Notăm cu \(a\), \(b\) și \(c\) cele trei numere.
\[
a=20\%\cdot b \Rightarrow a=\frac{20}{100}b=\frac{1}{5}b
\]
\[
c=150\%\cdot a \Rightarrow c=\frac{150}{100}a=\frac{3}{2}a
\]
\[
\Rightarrow c=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{5}b=\frac{3}{10}b
\]
\[
\frac{1}{5}b+b+\frac{3}{10}b=360 \Rightarrow \frac{3}{2}b=360 \Rightarrow b=240
\]
Rezultă \(a=\frac{1}{5}\cdot240=48\) și \(c=\frac{3}{2}\cdot48=72\).
Rezultă că numerele sunt \(48\), \(240\) și \(72\).
Exemplul 8. Un turist parcurge un drum în trei zile. În prima zi parcurge \(\frac{1}{3}\) din drum, iar în a doua zi parcurge \(\frac{1}{4}\) din rest. În a treia zi parcurge 40 km. Determinați lungimea drumului.
Rezolvare.
Notăm cu \(x\) lungimea drumului.
\[
\text{Prima zi: }\frac{x}{3}
\]
\[
\text{Rest: }x-\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}
\]
\[
\text{A doua zi: }\frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{3}=\frac{x}{6}
\]
\[
\text{A treia zi: }40
\]
\[
\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+40=x \Rightarrow \frac{x}{2}+40=x \Rightarrow 40=\frac{x}{2} \Rightarrow x=80
\]
Rezultă că lungimea drumului este \(80\) km.
Exemplul 9. Într-o clasă sunt mai multe bănci și mai mulți elevi. Dacă elevii se așază câte 3 în fiecare bancă, rămân 4 bănci neocupate, iar într-o bancă stă un singur elev. Dacă elevii se așază câte 2 în fiecare bancă, rămâne o bancă liberă. Determinați numărul băncilor și numărul elevilor.
Rezolvare.
Notăm cu \(b\) numărul băncilor și cu \(e\) numărul elevilor.
\[
e=3(b-5)+1
\]
\[
e=2(b-1)
\]
\[
\Rightarrow 3(b-5)+1=2(b-1) \Rightarrow 3b-15+1=2b-2 \Rightarrow 3b-14=2b-2 \Rightarrow b=12
\]
Rezultă \(e=2(12-1)=22\).
Rezultă că sunt \(12\) bănci și \(22\) elevi. Exemple propuse
- Un club sportiv are 52 de membri, care sunt fie fotbaliști, fie baschetbaliști. Numărul baschetbaliștilor este cu 16 mai mare decât numărul fotbaliștilor. Determinați numărul fotbaliștilor din club.
- Un număr de două cifre are cifra zecilor de 4 ori mai mare decât cifra unităților. Determinați numărul, știind că suma cifrelor sale este 10.
- Un număr se mărește cu 5, iar rezultatul se mărește de 4 ori. Noul rezultat micșorat cu 8 se împarte la 6 și se obține câtul 11 și restul 2. Determinați numărul inițial.
- Diferența a două numere naturale este 18. Împărțind numărul mai mare la numărul mai mic, obținem câtul 4 și restul 3. Determinați cele două numere.
- Peste 12 ani vârsta lui Mihai va fi de 3 ori mai mare decât vârsta pe care a avut-o Mihai acum 4 ani. Ce vârstă are Mihai acum?
- Într-un bloc sunt 96 de apartamente, repartizate în mod egal pe 8 etaje. Apartamentele sunt cu 2 camere și cu 3 camere. a) Este posibil ca pe un etaj să fie 15 apartamente cu 3 camere? Justificați răspunsul dat. b) Determinați numărul apartamentelor cu 2 camere și numărul apartamentelor cu 3 camere din bloc, știind că numărul apartamentelor cu 2 camere este dublul numărului apartamentelor cu 3 camere.
- În cadrul unui proiect de reciclare, o școală a colectat 10 containere cu hârtie și 6 containere cu plastic, care cântăresc împreună 104 kg. Patru containere cu hârtie și trei containere cu plastic cântăresc împreună 44 kg. Determinați cât cântărește un container cu hârtie, respectiv un container cu plastic.
- Șase caiete și 5 pixuri costă 73 de lei, iar 3 caiete și 4 pixuri costă 41 de lei. Determinați cât costă un caiet și cât costă un pix.
- Dacă elevii unei clase s-ar așeza câte doi în bancă, atunci o bancă ar rămâne liberă. Dacă aceiași elevi s-ar așeza câte trei în bancă, atunci ar rămâne două bănci libere și un elev ar sta singur în bancă.
a) Este posibil ca în acea clasă să fie 28 de elevi și 15 bănci? Justificați răspunsul dat.
b) Câți elevi și câte bănci sunt în acea clasă?
a) Este posibil ca în acea clasă să fie 28 de elevi și 16 bănci? Justificați răspunsul dat.
b) Câți elevi și câte bănci sunt în acea clasă?
- La un concurs de matematică au fost propuse 12 probleme. Pentru fiecare rezolvare corectă se acordă 12 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată se scad 4 puncte. Un elev a obținut în final 80 de puncte. Determinați câte probleme a rezolvat corect elevul.
- Într-un magazin s-au adus sucuri pentru vânzare. În prima zi s-au vândut 25% din totalul sucurilor, în a doua zi s-au vândut 40% din rest, iar în a treia zi s-au vândut ultimii 90 de litri. Câți litri de suc s-au adus inițial în magazin?
- Un ciclist parcurge un traseu în trei etape. În prima etapă parcurge \(\frac{1}{4}\) din lungimea traseului și încă 3 km. În a doua etapă parcurge \(\frac{1}{3}\) din restul traseului, iar în ultima etapă parcurge restul de 18 km. Determinați lungimea totală a traseului.
