Definiție
Ecuația de gradul al doilea este ecuația de forma
\( ax^2+bx+c=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a\neq 0. \)
Unde:
\( a=\text{coeficientul lui }x^2,\quad b=\text{coeficientul lui }x,\quad c=\text{termenul liber}. \)
Discriminantul ecuației este:
\( \Delta=b^2-4ac. \)
Cazul I: \( \Delta>0 \)
\( \Delta>0 \Rightarrow \sqrt{\Delta}\in\mathbb{R},\quad x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_1\neq x_2. \)
Ecuația are două soluții reale distincte.
Cazul II: \( \Delta=0 \)
\( \Delta=0 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=0,\quad x_1=x_2=\frac{-b}{2a}. \)
Ecuația are două soluții reale egale.
Cazul III: \( \Delta<0 \)
\( \Delta<0 \Rightarrow \sqrt{\Delta}\notin\mathbb{R},\quad x_1,x_2\notin\mathbb{R}. \)
Ecuația nu are soluții reale.
Exerciții rezolvate
Exemplul 1
\( x^2-5x+6=0 \)
\( a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \)
\( \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0 \)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-1}{2}=2 \)
\( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+1}{2}=3 \)
Ecuația are două soluții reale distincte:
\( x_1=2,\quad x_2=3. \)
Exemplul 2
\( x^2-4x+4=0 \)
\( a=1,\quad b=-4,\quad c=4 \)
\( \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0 \)
\( x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2 \)
Ecuația are două soluții reale egale:
\( x_1=x_2=2. \)
Exemplul 3
\( x^2+2x+5=0 \)
\( a=1,\quad b=2,\quad c=5 \)
\( \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0 \)
Ecuația nu are soluții reale.
Exemplul 4
\( x^2-3x=0 \)
Metoda 1: prin factor comun
\( x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0 \ \text{sau}\ x-3=0 \Rightarrow x=0 \ \text{sau}\ x=3. \)
Soluțiile sunt: \( x_1=0,\quad x_2=3. \)
Metoda 2: cu discriminantul
\( a=1,\quad b=-3,\quad c=0,\quad \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot0=9. \)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-3}{2}=0,\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+3}{2}=3. \)
Soluțiile sunt: \( x_1=0,\quad x_2=3. \)
Exemplul 5
\( 2x^2-3x+1=0 \)
\( a=2,\quad b=-3,\quad c=1,\quad \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1>0. \)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1. \)
Soluțiile sunt: \( x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=1. \)
Exemplul 6
\( x^2-4=0 \)
Metoda 1: prin diferență de pătrate
\( x^2-4=0 \Rightarrow x^2-2^2=0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x-2=0 \ \text{sau}\ x+2=0 \Rightarrow x=2 \ \text{sau}\ x=-2. \)
Soluțiile sunt: \( x_1=-2,\quad x_2=2. \)
Metoda 2: prin extragerea rădăcinii pătrate
\( x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x=\pm2. \)
Soluțiile sunt: \( x_1=-2,\quad x_2=2. \)
