Definiții
1. Definiția funcției de gradul al II-lea
Funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax^2+bx+c \), unde \( a,b,c\in\mathbb{R} \) și \( a\neq 0 \), se numește funcție de gradul al II-lea.
2. Forma canonică
\( f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a},\ x\in\mathbb{R} \).
3. Puncte de extrem
i) Dacă \( a>0 \), atunci există minimul funcției \( f \), \( \min f=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta}{4a} \).
ii) Dacă \( a<0 \), atunci există maximul funcției \( f \), \( \max f=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta}{4a} \).
iii) Punctul \( V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right) \) este punct de extrem al graficului funcției.
4. Intervalele de monotonie
i) Dacă \( a>0 \), atunci funcția \( f \) este strict descrescătoare pe intervalul \( \left(-\infty;-\frac{b}{2a}\right] \) și strict crescătoare pe \( \left[-\frac{b}{2a};+\infty\right) \).
ii) Dacă \( a<0 \), atunci funcția \( f \) este strict crescătoare pe intervalul \( \left(-\infty;-\frac{b}{2a}\right] \) și strict descrescătoare pe \( \left[-\frac{b}{2a};+\infty\right) \).
5. Semnul funcției
Se consideră ecuația atașată \( f(x)=0 \).
i) Dacă \( \Delta>0 \), ecuația atașată are două rădăcini reale distincte, \( x_1\neq x_2 \), atunci \( f \) are semn contrar lui \( a \) între rădăcini și semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor.
ii) Dacă \( \Delta=0 \), ecuația atașată are două rădăcini reale egale, \( x_1=x_2 \), atunci \( f \) are semnul lui \( a \) pe \( \mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{b}{2a}\right\} \).
iii) Dacă \( \Delta<0 \), ecuația atașată nu are rădăcini reale, atunci \( f \) are semnul lui \( a \) pe \( \mathbb{R} \).
Exemple rezolvate
1. Să se scrie sub formă canonică funcțiile:
i) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=x^2-4x+2 \);
ii) \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-2x^2+3x+1 \).
Rezolvare.
Forma canonică a unei funcții de gradul al doilea este dată de formula:
\( f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a},\ x\in\mathbb{R} \).
i) \( f(x)=x^2-4x+2=\left(x+\frac{-4}{2}\right)^2-\frac{8}{4}=(x-2)^2-2 \), \( (a=1,\ b=-4,\ c=2,\ \Delta=8) \);
ii) \( f(x)=-2x^2+3x+1=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{17}{8} \), \( (a=-2,\ b=3,\ c=1,\ \Delta=17) \).
2. Să se studieze monotonia funcției \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=x^2-6x+5 \).
Rezolvare:
\( a=1>0 \Rightarrow \min f=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta}{4a} \). \( x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3 \).
Rezultă că \( f \) este strict descrescătoare pe \( \left(-\infty;3\right] \) și strict crescătoare pe \( \left[3;+\infty\right) \).
3. Să se studieze monotonia funcției \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-2x^2+8x-1 \).
Rezolvare:
\( a=-2<0 \Rightarrow \max f=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta}{4a} \). \( x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2 \).
Rezultă că \( f \) este strict crescătoare pe \( \left(-\infty;2\right] \) și strict descrescătoare pe \( \left[2;+\infty\right) \).
4. Determinați coordonatele punctului de maxim al funcției \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-x^2-2x-5 \).
Rezolvare:
\( f(x)=-x^2-2x-5 \Rightarrow a=-1<0 \Rightarrow \) funcția are punct de maxim.
\( x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1 \).
\( y_V=f(-1)=-(-1)^2-2\cdot(-1)-5=-1+2-5=-4 \).
Prin urmare, punctul de maxim al funcției este \( V(-1;-4) \).
5. Studiați semnul funcției \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=x^2-3x+2 \).
Rezolvare:
\( f(x)=x^2-3x+2 \Rightarrow a=1,\ b=-3,\ c=2 \).
\( \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1>0 \).
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{2}=2 \).
Deoarece \( a=1>0 \), funcția are semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor și semn contrar lui \( a \) între rădăcini.
Rezultă că \( f(x)>0 \) pentru \( x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty) \), \( f(x)=0 \) pentru \( x\in\{1;2\} \) și \( f(x)<0 \) pentru \( x\in(1;2) \).
6. Studiați semnul funcției \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=-2x^2+4x+6 \).
Rezolvare:
\( f(x)=-2x^2+4x+6 \Rightarrow a=-2,\ b=4,\ c=6 \).
\( \Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot6=16+48=64>0 \).
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-8}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3,\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+8}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1 \).
Ordonăm rădăcinile: \( x_1=-1,\ x_2=3 \).
Deoarece \( a=-2<0 \), funcția are semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor și semn contrar lui \( a \) între rădăcini.
Rezultă că \( f(x)>0 \) pentru \( x\in(-1;3) \), \( f(x)=0 \) pentru \( x\in\{-1;3\} \) și \( f(x)<0 \) pentru \( x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty) \).
