Graficul funcției de gradul al doilea

Fie funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=ax^2+bx+c \), unde \( a,b,c\in\mathbb{R} \), \( a\neq 0 \).

1. Imaginea unei mulțimi prin funcția \( f \)

Fie \( A\subseteq\mathbb{R} \).

se numește imaginea mulțimii \( A \) prin funcția \( f \).

Pentru a determina \( f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\ /\ \exists x\in\mathbb{R} \text{ a.î. } f(x)=y\} \), se procedează astfel: ecuației \( f(x)=y \) i se impune condiția \( \Delta_1\geq 0 \), deoarece \( x\in\mathbb{R} \).

\( \Delta_1\geq 0\Rightarrow y\in\left[-\frac{\Delta}{4a};+\infty\right) \), dacă \( a>0 \), sau \( y\in\left(-\infty;-\frac{\Delta}{4a}\right] \), dacă \( a<0 \).

Deci: i) dacă \( a>0 \), atunci \( f(\mathbb{R})=\left[-\frac{\Delta}{4a};+\infty\right) \); ii) dacă \( a<0 \), atunci \( f(\mathbb{R})=\left(-\infty;-\frac{\Delta}{4a}\right] \).

2. Axa de simetrie a graficului \( G_f \)

\( x=-\frac{b}{2a} \) este axă de simetrie pentru \( G_f \), proprietate geometrică stabilită prin egalitatea \( f\left(-\frac{b}{2a}-x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}+x\right),\ \forall x\in\mathbb{R} \).

3. Convexitate, concavitate

i) Dacă \( a>0 \), atunci \( f \) este convexă pe \( \mathbb{R} \), adică pentru oricare puncte \( M \) și \( N \) de pe grafic, arcul de parabolă \( MN \) este situat „sub segmentul \( MN \)”.

ii) Dacă \( a<0 \), atunci \( f \) este concavă pe \( \mathbb{R} \), adică pentru oricare puncte \( M,N\in G_f \), arcul de parabolă \( MN \) este situat „deasupra segmentului \( MN \)”.

4. Graficul funcției de gradul al doilea

i) \( G_f=\{(x,f(x))\ /\ x\in\mathbb{R}\} \).

ii) \( G_f=\{P(x,f(x))\ /\ x\in\mathbb{R}\} \) — imaginea geometrică a graficului funcției \( f \), adică parabola.

iii) \( G_f\cap Ox:\ y=0\Rightarrow f(x)=0\Rightarrow A(x_1,0),\ B(x_2,0) \), dacă \( \Delta>0 \);

\( G_f\cap Ox:\ y=0\Rightarrow f(x)=0\Rightarrow A\left(-\frac{b}{2a},0\right) \), dacă \( \Delta=0 \);

\( G_f\cap Ox:\ y=0\Rightarrow f(x)=0\Rightarrow G_f\cap Ox=\emptyset \), dacă \( \Delta<0 \).

\( G_f\cap Oy:\ x=0\Rightarrow y=f(0)\Rightarrow C(0,f(0)) \).

5. Reprezentarea grafică a funcției de gradul al doilea

i) Se intuiește forma graficului în funcție de valoarea lui \( a \): dacă \( a>0 \), parabola „ține apa”, iar dacă \( a<0 \), parabola „nu ține apa”.

ii) Se determină intersecția graficului cu axele de coordonate.

iii) Se determină vârful parabolei \( V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right) \).

iv) Se reprezintă în reperul cartezian \( xOy \) punctele obținute anterior.

v) Se unesc punctele obținute anterior cu o linie continuă, obținând astfel parabola căutată.