Definiție
Metoda de rezolvare
Pentru rezolvarea unei inecuații de gradul al doilea se parcurg următoarele etape:
\(\bullet\) Se atașează ecuația de gradul al doilea corespunzătoare:
\[
ax^2+bx+c=0
\]
\(\bullet\) Se calculează discriminantul ecuației:
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
\(\bullet\) Se determină rădăcinile reale ale ecuației.
\(\bullet\) Se alcătuiește tabelul de semne:
între rădăcinile ecuației se pune semnul contrar lui \(a\), iar în afara rădăcinilor se pune semnul lui \(a\).
\(\bullet\) Se identifică intervalele care verifică inecuația dată.
Exemplul 1. Să se rezolve inecuația \(x^2-5x+4\le 0\).
Rezolvare:
\(a=1,\quad b=-5,\quad c=4\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3>0 \Rightarrow x_1,x_2\in\mathbb{R},\quad x_1\neq x_2\)
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
=\frac{-(-5)-3}{2\cdot 1}
=\frac{5-3}{2}
=1
\]
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
=\frac{-(-5)+3}{2\cdot 1}
=\frac{5+3}{2}
=4
\]
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & -\infty & 1 & & 4 & +\infty \\ \hline
x^2-5x+4 & + & 0 & – & 0 & +
\end{array}
\]
Deoarece \(x^2-5x+4\le 0 \Rightarrow x\in[1,4]\).
Cazul II: \(\Delta=0\)
\[
\Delta=0 \Rightarrow x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\in\mathbb{R}
\]
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & x_1=x_2 & +\infty \\ \hline
ax^2+bx+c & \text{semnul lui }a & 0 & \text{semnul lui }a
\end{array}
\]
Exemplul 2. Să se rezolve inecuația \(x^2-6x+9\ge 0\).
Rezolvare:
\(a=1,\quad b=-6,\quad c=9\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0\)
\[
\Delta=0 \Rightarrow x_1=x_2=\frac{-b}{2a}
=\frac{-(-6)}{2\cdot 1}
=\frac{6}{2}
=3
\]
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & 3 & +\infty \\ \hline
x^2-6x+9 & + & 0 & +
\end{array}
\]
Deoarece \(x^2-6x+9\ge 0 \Rightarrow x\in\mathbb{R}\).
