Definiție
Fie triunghiul \(ABC\), cu vârfurile:
\(A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C)\)
Aria triunghiului \(ABC\) se poate calcula cu formula:
unde:
\(A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C)\)
sunt coordonatele celor trei vârfuri ale triunghiului.
Observație: Dacă \(x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)=0\), atunci punctele \(A\), \(B\), \(C\) sunt coliniare și nu formează un triunghi propriu-zis.
Exemple rezolvate
Rezolvare:
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|\).
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|1(3-6)+4(6-2)+2(2-3)\right|\).
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|-3+16-2\right|=\frac{1}{2}\cdot 11=\frac{11}{2}\).
Rezolvare:
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|\).
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|(-1)(5-(-1))+2(-1-3)+4(3-5)\right|\).
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|-6-8-8\right|=\frac{1}{2}\cdot 22=11\).
Rezolvare:
Punctul \(C\) este pe axa \(Oy\), deci \(C(0,y)\).
\(A_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|\).
\(3=\frac{1}{2}\left|2(0-y)+4(y-0)+0(0-0)\right|\).
\(3=\frac{1}{2}\left|-2y+4y\right|=\frac{1}{2}|2y|=|y|\).
Rezultă: \(|y|=3\), deci \(y=3\) sau \(y=-3\).
Prin urmare: \(C_1(0,3)\) și \(C_2(0,-3)\).
Exemple propuse
- Calculați aria triunghiului cu vârfurile \(A(1,3)\), \(B(5,2)\), \(C(2,6)\).
- Fie \(A(-2,1)\), \(B(3,4)\), \(C(1,-2)\). Calculați aria triunghiului \(ABC\).
- Fie \(A(1,0)\), \(B(5,0)\). Găsiți un punct \(C\) pe axa \(Oy\), astfel încât \(A_{\triangle ABC}=10\).
