Definiție
Binomul lui Newton este formula care permite dezvoltarea unei puteri de forma \((a+b)^n\), unde \(a\) și \(b\) sunt două numere reale, iar \(n\) este un număr natural.
Pentru orice \(n \in \mathbb{N}\), avem:
\[
(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n
\]
unde:
\[
C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad k=0,1,2,\ldots,n
\]
Numerele \(C_n^0,\ C_n^1,\ C_n^2,\ldots,\ C_n^k,\ldots,\ C_n^n\) se numesc coeficienți binomiali.
Proprietăți ale coeficienților binomiali
Suma tuturor coeficienților binomiali este:
\[ C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=2^n \]
Suma coeficienților binomiali cu indici pari este egală cu suma coeficienților binomiali cu indici impari:
\[ C_n^0+C_n^2+C_n^4+\ldots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\ldots=2^{n-1} \]
Această proprietate este utilă în exercițiile în care trebuie calculată rapid suma unor coeficienți binomiali, fără a dezvolta complet binomul.
Exemple rezolvate
Exemplul 1. Dezvoltați expresia \((x+2)^3\), folosind binomul lui Newton.
Rezolvare:
În cazul nostru:
\[ a=x,\quad b=2,\quad n=3 \]
\[ (x+2)^3=C_3^0x^3+C_3^1x^2\cdot 2+C_3^2x\cdot 2^2+C_3^3\cdot 2^3 \]
Folosim combinările complementare:
\[ C_3^0=C_3^3=1 \]
\[ C_3^1=C_3^2=3 \]
Înlocuim:
\[ (x+2)^3=1\cdot x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+1\cdot 2^3 \]
\[ (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \]
Exemplul 2. Dezvoltați expresia \((2x-3)^4\), folosind binomul lui Newton.
Rezolvare:
În cazul nostru:
\[ a=2x,\quad b=-3,\quad n=4 \]
\[ (2x-3)^4=C_4^0(2x)^4+C_4^1(2x)^3\cdot(-3)+C_4^2(2x)^2\cdot(-3)^2+C_4^3(2x)\cdot(-3)^3+C_4^4\cdot(-3)^4 \]
Folosim combinările complementare:
\[ C_4^0=C_4^4=1 \]
\[ C_4^1=C_4^3=4 \]
\[ C_4^2=6 \]
Înlocuim:
\[ (2x-3)^4=1\cdot(2x)^4+4\cdot(2x)^3\cdot(-3)+6\cdot(2x)^2\cdot(-3)^2+4\cdot(2x)\cdot(-3)^3+1\cdot(-3)^4 \]
\[ (2x-3)^4=16x^4-96x^3+216x^2-216x+81 \]
Exemplul 3. Determinați coeficientul binomial, respectiv coeficientul termenului al treilea al dezvoltării \((2-x)^5\).
Rezolvare:
În cazul nostru:
\[ a=2,\quad b=-x,\quad n=5 \]
Dezvoltarea începe astfel:
\[ (2-x)^5=C_5^0\cdot 2^5+C_5^1\cdot 2^4\cdot(-x)+C_5^2\cdot 2^3\cdot(-x)^2+\ldots \]
Termenul al treilea este:
\[ T_3=C_5^2\cdot 2^3\cdot(-x)^2 \]
Coeficientul binomial al termenului al treilea este:
\[ C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}=10 \]
Coeficientul termenului al treilea este:
\[ 10\cdot2^3\cdot(-1)^2=10\cdot8\cdot1=80 \]
Prin urmare, coeficientul binomial este \(10\), iar coeficientul termenului al treilea este \(80\).
Termenul general al dezvoltării
Termenul general al dezvoltării binomului \((a+b)^n\) este:
\[ T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k,\quad k=0,1,2,\ldots,n \]
unde \(T_{k+1}\) reprezintă termenul de rang \(k+1\) din dezvoltare.
Observație.
Pentru a determina termenul al \(p\)-lea, procedăm astfel:
\[ k+1=p \Rightarrow k=p-1 \]
De exemplu, pentru termenul al treilea:
\[ p=3 \Rightarrow k=3-1=2 \]
Exemplul 1. Determinați al cincilea termen al dezvoltării \((1-3x)^{10}\).
Rezolvare:
\[ \left. \begin{array}{l} a=1\\ b=-3x\\ n=10\\ k+1=5 \Rightarrow k=4 \end{array} \right\} \Rightarrow T_5=C_{10}^{4}\cdot 1^{10-4}\cdot(-3x)^4 \]
\[ T_5=C_{10}^{4}\cdot 1^6\cdot(-3)^4x^4 \]
\[ T_5=210\cdot1\cdot81x^4 \]
\[ T_5=17010x^4 \]
Exemplul 2. Determinați termenul din mijloc al dezvoltării \(\left(\frac{1}{2}-x\right)^8\).
Rezolvare:
Deoarece \(n=8\), dezvoltarea are:
\[ n+1=8+1=9 \]
termeni. Fiind \(9\) termeni, termenul din mijloc este termenul al cincilea.
\[ \left. \begin{array}{l} a=\frac{1}{2}\\ b=-x\\ n=8\\ k+1=5 \Rightarrow k=4 \end{array} \right\} \Rightarrow T_5=C_8^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{8-4}\cdot(-x)^4 \]
\[ T_5=C_8^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot x^4 \]
\[ T_5=70\cdot\frac{1}{16}\cdot x^4 \]
\[ T_5=\frac{35}{8}x^4 \]
Exemplul 3. Determinați termenii din mijloc ai dezvoltării \((2-x)^7\).
Rezolvare:
Deoarece \(n=7\), dezvoltarea are:
\[ n+1=7+1=8 \]
termeni. Fiind \(8\) termeni, dezvoltarea are doi termeni din mijloc: termenul al patrulea și termenul al cincilea.
\[ \left. \begin{array}{l} a=2\\ b=-x\\ n=7\\ k+1=4 \Rightarrow k=3 \end{array} \right\} \Rightarrow T_4=C_7^3\cdot2^{7-3}\cdot(-x)^3 \]
\[ T_4=35\cdot2^4\cdot(-x^3) \]
\[ T_4=-560x^3 \]
\[ \left. \begin{array}{l} a=2\\ b=-x\\ n=7\\ k+1=5 \Rightarrow k=4 \end{array} \right\} \Rightarrow T_5=C_7^4\cdot2^{7-4}\cdot(-x)^4 \]
\[ T_5=35\cdot2^3\cdot x^4 \]
\[ T_5=280x^4 \]
Exemplul 4. Determinați termenul care nu îl conține pe \(x\) din dezvoltarea \(\left(2x-\frac{1}{x}\right)^6\).
Rezolvare:
\[ \left. \begin{array}{l} a=2x\\ b=-\frac{1}{x}\\ n=6 \end{array} \right\} \Rightarrow T_{k+1}=C_6^k\cdot(2x)^{6-k}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)^k \]
\[ T_{k+1}=C_6^k\cdot2^{6-k}\cdot x^{6-k}\cdot(-1)^k\cdot x^{-k} \]
\[ T_{k+1}=C_6^k\cdot2^{6-k}\cdot(-1)^k\cdot x^{6-2k} \]
Termenul nu îl conține pe \(x\), deci exponentul lui \(x\) trebuie să fie \(0\):
\[ 6-2k=0 \Rightarrow 2k=6 \Rightarrow k=3 \]
\[ T_4=C_6^3\cdot2^{6-3}\cdot(-1)^3\cdot x^0 \]
\[ T_4=20\cdot8\cdot(-1) \]
\[ T_4=-160 \]
