Definiții
Se numește proporție egalitatea a două rapoarte: \[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad bd \ne 0. \]
\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=bc \]
Se numește raport procentual un raport de forma \[ \frac{p}{100} \] unde \(p \in \mathbb{R}\), \(p \ge 0\), care se notează \(p\%\).
Dobânda reprezintă diferența dintre suma returnată de debitor (cel care împrumută banii) și suma oferită de creditor (cel care oferă bani) în cadrul unui împrumut.
Dacă dobânda este direct proporțională cu suma inițială și cu durata împrumutului, atunci spunem că se utilizează dobânda simplă, calculată după formula:
\[ D = S_0 \cdot \frac{n}{12} \cdot \frac{p}{100} \]
unde:
- \(D\) - dobânda primită sau cedată;
- \(S_0\) - suma inițială;
- \(n\) - numărul de luni;
- \(p\) - procentul anual.
Exemple rezolvate
1. La olimpiada de matematică participă 36 băieți și 44 fete. Care este procentul de fete participante la olimpiadă? Dar de băieți?
Rezolvare:
Numărul total de elevi participanți la olimpiadă este \[ 36 + 44 = 80. \]
Avem: \[ \frac{p}{100} = \frac{44}{80} \Rightarrow p = \frac{100 \cdot 44}{80} \Rightarrow p = 55 \Rightarrow p\% = 55\%. \]
Deci fetele reprezintă \(55\%\) din numărul total al participanților la olimpiadă.
Analog: \[ \frac{p}{100} = \frac{36}{80} \Rightarrow p = 45 \Rightarrow p\% = 45\%. \]
Deci băieții reprezintă \(45\%\) din numărul total al participanților la olimpiadă.
2. La un control efectuat de un radar al poliției pe 275 de mașini au fost depistați 33 șoferi care au depășit viteza maximă legală. Care este procentul de șoferi care au încălcat legea?
Rezolvare:
Metoda 1. Analog problemei 1 avem: \[ \frac{p}{100} = \frac{33}{275} \Rightarrow p = \frac{100 \cdot 33}{275} \Rightarrow p = 12. \]
Deci procentul de șoferi care au încălcat legea este: \[ p\% = 12\%. \]
Metoda 2.
\[ \begin{array}{rcl} 275 & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & 33 \\ 100 & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & p \end{array} \]
\[ p = \frac{100 \cdot 33}{275} \Rightarrow p = 12. \]
Am folosit regula de trei simplă.
3. Mihai depune la o bancă pentru o perioadă de 10 luni suma de 5.400 lei. Să se calculeze dobânda primită după cele 10 luni știind că banca oferă dobânda simplă de \(16\%\) pe an.
Rezolvare:
\[ D = S_0 \cdot \frac{n}{12} \cdot \frac{p}{100}, \qquad S_0 = 5400 \text{ lei}, \quad n = 10 \text{ luni}, \quad p = 16. \]
Deci: \[ D = 5400 \cdot \frac{10}{12} \cdot \frac{16}{100} = 720 \text{ lei}. \]
4. Un om de afaceri împrumută de la o bancă suma de 200 milioane lei pentru a plăti o datorie. Banca oferă acești bani pe o perioadă de 4 ani cu o dobândă simplă de \(24\%\). Ce dobândă va plăti omul de afaceri la expirarea termenului împrumutului?
Rezolvare:
\[ D = S_0 \cdot \frac{n}{12} \cdot \frac{p}{100}, \qquad S_0 = 200 \cdot 10^6 \text{ lei}, \quad n = 48 \text{ luni}, \quad p = 24. \]
Deci: \[ D = 200 \cdot 10^6 \cdot \frac{48}{12} \cdot \frac{24}{100} = 192 \cdot 10^6 \text{ lei}. \]
5. Se depun în regim de dobândă simplă pe aceeași perioadă de timp, sumele 1.200 lei cu \(16\%\), 1.500 lei cu \(15\%\) și 1.800 lei cu \(12\%\). Să se determine procentul mediu în regim de dobândă simplă care dă aceeași dobândă totală.
Rezolvare:
\[ p = \frac{ p_1S_1 + p_2S_2 + \ldots + p_nS_n }{ S_1 + S_2 + \ldots + S_n } = \frac{ 1200 \cdot \frac{16}{100} + 1500 \cdot \frac{15}{100} + 1800 \cdot \frac{12}{100} }{ 4500 } = 0,14. \]
Deci: \[ p\% = 14\%. \]
Exemple propuse
1. Prețul unui apartament este 30.000 euro. Știind că actele costă \(7\%\) din valoarea apartamentului, cât costă apartamentul?
2. \(25\%\) din prețul unei lucrări de reamenajare a unui spațiu, adică 3.500 euro, reprezintă plata manoperei. Să se determine prețul lucrării.
3. Într-un depozit sunt 300 kg de cartofi. În prima zi s-a consumat \(40\%\) din toată cantitatea, în a 2-a zi \(35\%\) din rest, iar în a 3-a zi restul. Câte kg au fost consumate în a 3-a zi?
4. Dintr-o suprafață de 5120 ha s-au însămânțat 2048 ha cu grâu, iar \(25\%\) din rest s-au însămânțat cu porumb.
i) Ce procent din întreaga suprafață s-a însămânțat cu grâu?
ii) Cât la sută din suprafața însămânțată cu grâu reprezintă cea însămânțată cu porumb?
5. Alina depune la bancă pe 3 ani suma de 10.000 lei. Să se calculeze dobânda primită după cei trei ani, știind că banca oferă o dobândă simplă de \(8\%\) pe an.
6. Să se determine dobânda simplă produsă de suma 11.250 euro pe timp de 240 de zile, cu rata dobânzii de \(3\%\). Se consideră că anul are 360 de zile.
7. Bunica lui Ionuț depune la bancă suma de 40.000 lei și peste 4 ani scoate toată suma plus dobânda în valoare de 5.000 lei. Știind că banca a oferit dobândă fixă simplă pentru cei 4 ani, să se determine procentul care reprezintă dobânda anuală.
8. Să se calculeze rata dobânzii \(p\) cu care suma de 9600 euro a produs o dobândă de 128 euro pe timp de 120 de zile.
