Definiție
Fie o dreaptă \(d\), dată prin forma sa generală:
\(d: ax+by+c=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R}\)
și un punct \(P(x_0,y_0)\).
Distanța de la punctul \(P(x_0,y_0)\) la dreapta \(d: ax+by+c=0\) este:
Observații: Dacă punctul \(P(x_0,y_0)\) aparține dreptei \(d\), atunci \(ax_0+by_0+c=0\) și rezultă \(d(P,d)=0\).
Exemple rezolvate
Rezolvare:
Avem: \(a=3,\ b=4,\ c=-10,\ x_0=2,\ y_0=3\).
Aplicăm formula: \(d(P,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Înlocuim: \(d(P,d)=\frac{|3\cdot 2+4\cdot 3-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6+12-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{8}{5}\).
Prin urmare: \(d(P,d)=\frac{8}{5}\).
Rezolvare:
Avem: \(a=2,\ b=-1,\ c=3,\ x_0=-1,\ y_0=4\).
Aplicăm formula: \(d(A,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Înlocuim: \(d(A,d)=\frac{|2\cdot(-1)+(-1)\cdot 4+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|-2-4+3|}{\sqrt{4+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\).
Raționalizăm: \(d(A,d)=\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\).
Prin urmare: \(d(A,d)=\frac{3\sqrt{5}}{5}\).
Rezolvare:
Avem: \(a=3,\ b=-4,\ c=2,\ x_0=\frac{1}{2},\ y_0=-1\).
Aplicăm formula: \(d(P,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Înlocuim: \(d(P,d)=\frac{\left|3\cdot\frac{1}{2}+(-4)\cdot(-1)+2\right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{\left|\frac{3}{2}+4+2\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|\frac{3}{2}+6\right|}{5}=\frac{\frac{15}{2}}{5}=\frac{3}{2}\).
Prin urmare: \(d(P,d)=\frac{3}{2}\).
Rezolvare:
Punctul se află pe dreapta \(x=3\), deci are forma \(P(3,y)\).
Dreapta \(y=1\) se scrie în forma generală: \(y-1=0\), adică \(0x+y-1=0\).
Avem: \(a=0,\ b=1,\ c=-1,\ x_0=3,\ y_0=y\).
Aplicăm formula: \(d(P,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Înlocuim: \(4=\frac{|0\cdot 3+1\cdot y-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|y-1|}{1}=|y-1|\).
Rezultă: \(|y-1|=4\), deci \(y-1=4\) sau \(y-1=-4\).
De aici obținem: \(y=5\) sau \(y=-3\).
Prin urmare, punctele sunt: \(P_1(3,5)\) și \(P_2(3,-3)\).
Rezolvare:
Înălțimea din \(A\) este distanța de la punctul \(A\) la dreapta \(BC\).
Determinăm ecuația dreptei \(BC\): \(m_{BC}=\frac{2-\frac{1}{2}}{2-0}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}\).
\(BC:\ y-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}x\), deci \(4y-2=3x\), de unde \(BC:\ 3x-4y+2=0\).
Aplicăm formula: \(d(A,BC)=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 4+2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} =\frac{|3-16+2|}{\sqrt{9+16}} =\frac{11}{5}\).
Prin urmare: \(h_a=\frac{11}{5}\).
