Ecuația dreptei prin două puncte

Pentru a determina ecuația unei drepte, este suficient să cunoaștem două puncte distincte ale acesteia.

Definiție

Fie punctele distincte \( A(x_A, y_A) \) și \( B(x_B, y_B) \). Ecuația dreptei care trece prin punctele \( A \) și \( B \) este:

Această formulă este foarte utilă atunci când se cunosc coordonatele a două puncte ale dreptei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( A(2,1) \) și \( B(-1,3) \).

Rezolvare:

\[ (AB): \frac{y-1}{3-1}=\frac{x-2}{-1-2} \]

\[ \frac{y-1}{2}=\frac{x-2}{-3} \]

\[ -3(y-1)=2(x-2) \]

\[ -3y+3=2x-4 \]

\[ -2x-3y+7=0 \]

Așadar, ecuația dreptei este:

\[ (AB): -2x-3y+7=0 \]

Exemplul 2

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( M(2,-\frac{1}{2}) \) și \( N(\frac{1}{2},-1) \).

Rezolvare:

\[ (MN): \frac{y-y_M}{y_N-y_M}=\frac{x-x_M}{x_N-x_M} \]

\[ (MN): \frac{y+\frac{1}{2}}{-1+\frac{1}{2}}=\frac{x-2}{\frac{1}{2}-2} \]

\[ (MN): \frac{y+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{x-2}{-\frac{3}{2}} \]

\[ (MN): \frac{2y+1}{-1}=\frac{2(x-2)}{-3} \]

\[ -3(2y+1)=-2(x-2) \]

\[ -6y-3=-2x+4 \]

\[ 2x-6y-7=0 \]

Așadar, ecuația dreptei este:

\[ (MN): 2x-6y-7=0 \]

Exemplul 3

În reperul cartezian \( xOy \) se consideră punctele \( A(0,1) \), \( B(-2,0) \), \( C(2,2) \) și \( D(3,-1) \). Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor \( (AB) \) și \( (CD) \).

Rezolvare:

Determinăm mai întâi ecuația dreptei \( (AB) \):

\[ (AB): \frac{y-1}{0-1}=\frac{x-0}{-2-0} \]

\[ (AB): \frac{y-1}{-1}=\frac{x}{-2} \]

\[ -2(y-1)=-x \]

\[ -2y+2=-x \]

\[ x-2y+2=0 \]

Determinăm acum ecuația dreptei \( (CD) \):

\[ (CD): \frac{y-2}{-1-2}=\frac{x-2}{3-2} \]

\[ (CD): \frac{y-2}{-3}=x-2 \]

\[ y-2=-3(x-2) \]

\[ y-2=-3x+6 \]

\[ 3x+y-8=0 \]

Punctul de intersecție se obține rezolvând sistemul:

\[ \begin{cases} x-2y+2=0 \\ 3x+y-8=0 \end{cases} \]

Din prima ecuație rezultă:

\[ x=2y-2 \]

Înlocuim în a doua ecuație:

\[ 3(2y-2)+y-8=0 \]

\[ 6y-6+y-8=0 \]

\[ 7y-14=0 \]

\[ y=2 \]

Atunci:

\[ x=2\cdot 2-2=2 \]

Prin urmare, punctul de intersecție al dreptelor \( (AB) \) și \( (CD) \) este:

\[ P(2,2) \]

Exerciții propuse

Nivel ușor

1. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( A(1,2) \) și \( B(3,4) \).

2. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( M(-2,1) \) și \( N(0,5) \).

Nivel mediu

3. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( A(2,-1) \) și \( B(-4,3) \).

4. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele \( P(\frac{1}{2},2) \) și \( Q(3,-1) \).

Nivel dificil

5. În reperul cartezian \( xOy \), se consideră punctele \( A(1,3) \), \( B(5,-1) \), \( C(0,2) \), \( D(2,-2) \). Determinați punctul de intersecție al dreptelor \( (AB) \) și \( (CD) \).

6. Arătați că punctele \( A(1,2) \), \( B(3,6) \) și \( C(5,10) \) sunt coliniare, folosind ecuația dreptei prin două puncte.

Observații

Pentru a determina ecuația unei drepte prin două puncte, este important să înlocuim cu atenție coordonatele punctelor în formulă și să aducem rezultatul final într-o formă cât mai simplă.

În practică, ecuația finală se scrie adesea sub forma:

\[ ax+by+c=0 \]

unde \( a \), \( b \) și \( c \) sunt numere reale, iar \( a \) și \( b \) nu sunt simultan nule.