Exerciții și metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice
În această pagină sunt prezentate ecuații logaritmice rezolvate, utile pentru elevii de clasa a X-a și pentru pregătirea examenului de Bacalaureat la matematică. Exemplele sunt alese astfel încât să ilustreze principalele metode de rezolvare utilizate în practică.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice presupune, în general, stabilirea condițiilor de existență, aplicarea proprietăților logaritmilor și transformarea ecuației într-o formă mai simplă. În funcție de tipul exercițiului, se pot folosi metode precum:
- egalarea argumentelor logaritmilor;
- reducerea la aceeași bază;
- folosirea proprietăților logaritmilor;
- schimbarea de variabilă.
Exercițiile sunt ordonate progresiv, de la probleme mai simple la aplicații mai dificile, pentru a facilita înțelegerea fiecărei metode. Pentru fiecare tip de exercițiu sunt propuse exemple rezolvate pas cu pas.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații logaritmice:
1. \(\log_{2}(3x-1)=3\)
2. \(\log_{3}(2x^2-7)=2\)
3. \(\log_{x}(x+2)=1\)
4. \(\log_{x+2}(4x-1)=1\)
5. \(\log_{1/2}(2x-5)=\log_{2}4\)
6. \(\log_{1/4}(3-7x)=\log_{5}125\)
7. \(\log_{3}(x^2-1)=\log_{3}(x+1)\)
8. \(\log_{2}(x^2-7x+6)=\log_{2}(x-1)\)
9. \(\log_{x+1}(x^2-3x+1)=\log_{x+1}(x-2)\)
10. \(2\ln(3x-1)=\ln(4x^2+4x-4)\)
11. \(2\lg(2x+1)=\lg(x^2+7x+6)\)
12. \(\log_{2}(3x+1)+\log_{2}(x-2)=1\)
13. \(\log_{1/2}(1-x)-\log_{1/2}(2x-3)=2\)
14. \(\lg(x^2-6x+5)-\lg(3-x)=\lg3\)
15. \(\log_{2}(x+3)+2\log_{2}\sqrt{2-x}=2\)
16. \(2(\log_{3}(x-1))^2-\log_{3}(x-1)-1=0\)
17. \(4(\lg(x+3))^2+\lg(x+3)-5=0\)
18. \(\log_{3}(4^x+3\cdot2^x)=\log_{3}(2^{x+2}+2)\)
19. \(\lg(10^{2x+1}+7\cdot10^{x+1})=\lg(10^{x+2}-20)\)
20. \(\log_{3}\left(3^{x^2-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}(0.2)\)
Exercițiul 1. \(\log_{2}(3x-1)=3\)
Rezolvare.
CE: \(3x-1>0\Rightarrow x>\frac13\).
\(\log_{2}(3x-1)=3\Rightarrow3x-1=2^3\Rightarrow3x-1=8\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3\).
Verificare.
Pentru \(x=3\), avem \(3\cdot3-1=8>0\) (adevărat).
Soluția este \(x=3\).
Exercițiul 2. \(\log_{3}(2x^2-7)=2\)
Rezolvare.
CE: \(2x^2-7>0\).
\(\log_{3}(2x^2-7)=2\Rightarrow2x^2-7=3^2\Rightarrow2x^2-7=9\Rightarrow2x^2=16\Rightarrow x^2=8\Rightarrow x=\pm2\sqrt2\).
Verificare.
Pentru \(x=2\sqrt2\), avem \(2(2\sqrt2)^2-7=16-7=9>0\) (adevărat).
Pentru \(x=-2\sqrt2\), avem \(2(-2\sqrt2)^2-7=16-7=9>0\) (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=2\sqrt2,\;x_2=-2\sqrt2\).
Exercițiul 3. \(\log_{x}(x+2)=1\)
Rezolvare.
CE: \(x>0,\;x\neq1,\;x+2>0\Rightarrow x>0,\;x\neq1\).
\(\log_{x}(x+2)=1\Rightarrow x+2=x\Rightarrow2=0\), fals.
Ecuația nu are soluții.
Exercițiul 4. \(\log_{x+2}(4x-1)=1\)
Rezolvare.
CE: \(x+2>0,\;x\neq-1,\;4x-1>0\Rightarrow x>\frac14\).
\(\log_{x+2}(4x-1)=1\Rightarrow4x-1=x+2\Rightarrow3x=3\Rightarrow x=1\).
Verificare.
Pentru \(x=1\), avem \(1>\frac14\) (adevărat).
Soluția este \(x=1\).
Exercițiul 5. \(\log_{1/2}(2x-5)=\log_{2}4\)
Rezolvare.
CE: \(2x-5>0\Rightarrow x>\frac52\).
\(\log_{1/2}(2x-5)=\log_{2}4=2\Rightarrow2x-5=\left(\frac12\right)^2=\frac14\Rightarrow2x=\frac{21}{4}\Rightarrow x=\frac{21}{8}\).
Verificare.
Pentru \(x=\frac{21}{8}\), avem \(2\cdot\frac{21}{8}-5=\frac{42}{8}-\frac{40}{8}=\frac14>0\) (adevărat).
Soluția este \(x=\frac{21}{8}\).
Exercițiul 6. \(\log_{1/4}(3-7x)=\log_{5}125\)
Rezolvare.
CE: \(3-7x>0\Rightarrow x<\frac37\).
\(\log_{1/4}(3-7x)=\log_{5}125\Rightarrow\log_{1/4}(3-7x)=3\Rightarrow3-7x=\left(\frac14\right)^3=\frac1{64}\Rightarrow7x=3-\frac1{64}=\frac{191}{64}\Rightarrow x=\frac{191}{448}\).
Verificare.
Pentru \(x=\frac{191}{448}\), avem \(\frac{191}{448}<\frac37\) (adevărat).
Soluția este \(x=\frac{191}{448}\).
Exercițiul 7. \(\log_{3}(x^2-1)=\log_{3}(x+1)\)
Rezolvare.
CE: \(x^2-1>0,\;x+1>0\Rightarrow x>1\).
\(\log_{3}(x^2-1)=\log_{3}(x+1)\Rightarrow x^2-1=x+1\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=2\) sau \(x=-1\).
Verificare.
Pentru \(x=2\), avem \(2>1\) (adevărat).
Pentru \(x=-1\), avem \(-1>1\) (fals).
Soluția este \(x=2\).
Exercițiul 8. \(\log_{2}(x^2-7x+6)=\log_{2}(x-1)\)
Rezolvare.
CE: \(x^2-7x+6>0,\;x-1>0\Rightarrow(x-1)(x-6)>0,\;x>1\Rightarrow x>6\).
\(\log_{2}(x^2-7x+6)=\log_{2}(x-1)\Rightarrow x^2-7x+6=x-1\Rightarrow x^2-8x+7=0\Rightarrow(x-7)(x-1)=0\Rightarrow x=7\) sau \(x=1\).
Verificare.
Pentru \(x=7\), avem \(7>6\) (adevărat).
Pentru \(x=1\), avem \(1>6\) (fals).
Soluția este \(x=7\).
Exercițiul 9. \(\log_{x+1}(x^2-3x+1)=\log_{x+1}(x-2)\)
Rezolvare.
CE: \(x+1>0,\;x\neq0,\;x^2-3x+1>0,\;x-2>0\Rightarrow x>2\).
\(\log_{x+1}(x^2-3x+1)=\log_{x+1}(x-2)\Rightarrow x^2-3x+1=x-2\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1\) sau \(x=3\).
Verificare.
Pentru \(x=1\), avem \(1>2\) (fals).
Pentru \(x=3\), avem \(3>2\) (adevărat).
Soluția este \(x=3\).
Exercițiul 10. \(2\ln(3x-1)=\ln(4x^2+4x-4)\)
Rezolvare.
CE: \(3x-1>0,\;4x^2+4x-4>0\Rightarrow x>\frac13,\;x>\frac{\sqrt5-1}{2}\Rightarrow x>\frac{\sqrt5-1}{2}\).
\(2\ln(3x-1)=\ln(4x^2+4x-4)\Rightarrow\ln(3x-1)^2=\ln(4x^2+4x-4)\Rightarrow(3x-1)^2=4x^2+4x-4\).
\(9x^2-6x+1=4x^2+4x-4\Rightarrow5x^2-10x+5=0\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow(x-1)^2=0\Rightarrow x=1\).
Verificare.
Pentru \(x=1\), avem \(1>\frac{\sqrt5-1}{2}\) (adevărat).
Soluția este \(x=1\).
Exercițiul 11. \(2\lg(2x+1)=\lg(x^2+7x+6)\)
Rezolvare.
CE: \(2x+1>0,\;x^2+7x+6>0\Rightarrow x>-\frac12,\;(x+1)(x+6)>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x>-\frac12\).
\(2\lg(2x+1)=\lg(x^2+7x+6)\Rightarrow\lg(2x+1)^2=\lg(x^2+7x+6)\Rightarrow(2x+1)^2=x^2+7x+6\).
\(4x^2+4x+1=x^2+7x+6\Rightarrow3x^2-3x-5=0\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{69}}{6}\).
Verificare.
Pentru \(x=\frac{3+\sqrt{69}}{6}\), avem \(\frac{3+\sqrt{69}}{6}>-\frac12\) (adevărat).
Pentru \(x=\frac{3-\sqrt{69}}{6}\), avem \(\frac{3-\sqrt{69}}{6}>-\frac12\) (fals).
Soluția este \(x=\frac{3+\sqrt{69}}{6}\).
Exercițiul 12. \(\log_{2}(3x+1)+\log_{2}(x-2)=1\)
Rezolvare.
CE: \(3x+1>0,\;x-2>0\Rightarrow x>2\).
\(\log_{2}(3x+1)+\log_{2}(x-2)=1\Rightarrow\log_{2}[(3x+1)(x-2)]=1\Rightarrow(3x+1)(x-2)=2\).
\(3x^2-5x-2=2\Rightarrow3x^2-5x-4=0\Rightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{73}}{6}\).
Verificare.
Pentru \(x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}\), avem \(\frac{5+\sqrt{73}}{6}>2\) (adevărat).
Pentru \(x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\), avem \(\frac{5-\sqrt{73}}{6}>2\) (fals).
Soluția este \(x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}\).
Exercițiul 13. \(\log_{1/2}(1-x)-\log_{1/2}(2x-3)=2\)
Rezolvare.
CE: \(1-x>0,\;2x-3>0\Rightarrow x<1,\;x>\frac32\).
Nu există \(x\) care să satisfacă simultan condițiile.
Concluzie. Ecuația nu are soluții.
Exercițiul 14. \(\lg(x^2-6x+5)-\lg(3-x)=\lg3\)
Rezolvare.
CE: \(x^2-6x+5>0,\;3-x>0\Rightarrow(x-1)(x-5)>0,\;x<3\Rightarrow x<1\).
\(\lg(x^2-6x+5)-\lg(3-x)=\lg3\Rightarrow\lg\frac{x^2-6x+5}{3-x}=\lg3\Rightarrow\frac{x^2-6x+5}{3-x}=3\).
\(x^2-6x+5=9-3x\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow(x-4)(x+1)=0\Rightarrow x=4\) sau \(x=-1\).
Verificare.
Pentru \(x=4\), avem \(4<1\) (fals).
Pentru \(x=-1\), avem \(-1<1\) (adevărat).
Soluția este \(x=-1\).
Exercițiul 15. \(\log_{2}(x+3)+2\log_{2}\sqrt{2-x}=2\)
Rezolvare.
CE: \(x+3>0,\;2-x>0\), deci \(x>-3,\;x<2\).
\(\log_{2}(x+3)+2\log_{2}\sqrt{2-x}=2,\ \log_{2}(x+3)+\log_{2}(2-x)=2,\ \log_{2}[(x+3)(2-x)]=2\).
\((x+3)(2-x)=4,\ -x^2-x+6=4,\ x^2+x-2=0,\ (x+2)(x-1)=0,\ x=-2\) sau \(x=1\).
Verificare.
Pentru \(x=-2\), avem \(-2>-3\) și \(-2<2\) (adevărat).
Pentru \(x=1\), avem \(1>-3\) și \(1<2\) (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=-2,\;x_2=1\).
Exercițiul 16. \(2(\log_{3}(x-1))^2-\log_{3}(x-1)-1=0\)
Rezolvare.
CE: \(x-1>0\Rightarrow x>1\).
Notăm \(t=\log_{3}(x-1)\). Ecuația devine \(2t^2-t-1=0\Rightarrow(2t+1)(t-1)=0\Rightarrow t=1\) sau \(t=-\frac12\).
\(\log_{3}(x-1)=1\Rightarrow x-1=3\Rightarrow x=4\).
\(\log_{3}(x-1)=-\frac12\Rightarrow x-1=3^{-1/2}=\frac1{\sqrt3}\Rightarrow x=1+\frac1{\sqrt3}\).
Verificare.
Pentru \(x=4\), avem \(4>1\) (adevărat).
Pentru \(x=1+\frac1{\sqrt3}\), avem \(1+\frac1{\sqrt3}>1\) (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=4,\;x_2=1+\frac1{\sqrt3}\).
Exercițiul 17. \(4(\lg(x+3))^2+\lg(x+3)-5=0\)
Rezolvare.
CE: \(x+3>0\Rightarrow x>-3\).
Notăm \(t=\lg(x+3)\). Ecuația devine \(4t^2+t-5=0\Rightarrow t=\frac{-1\pm9}{8}\Rightarrow t=1\) sau \(t=-\frac54\).
\(\lg(x+3)=1\Rightarrow x+3=10\Rightarrow x=7\).
\(\lg(x+3)=-\frac54\Rightarrow x+3=10^{-5/4}\Rightarrow x=10^{-5/4}-3\).
Verificare.
Pentru \(x=7\), avem \(7>-3\) (adevărat).
Pentru \(x=10^{-5/4}-3\), avem \(10^{-5/4}-3>-3\) (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=7,\;x_2=10^{-5/4}-3\).
Exercițiul 18. \(\log_{3}(4^x+3\cdot2^x)=\log_{3}(2^{x+2}+2)\)
Rezolvare.
CE: \(4^x+3\cdot2^x>0,\;2^{x+2}+2>0\) (adevărat pentru orice \(x\)).
\(\log_{3}(4^x+3\cdot2^x)=\log_{3}(2^{x+2}+2)\Rightarrow4^x+3\cdot2^x=2^{x+2}+2\).
Notăm \(t=2^x\Rightarrow t^2+3t=4t+2\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow(t-2)(t+1)=0\).
\(t=2\Rightarrow2^x=2\Rightarrow x=1\).
\(t=-1\) imposibil deoarece \(2^x>0\).
Verificare.
Pentru \(x=1\), avem \(1\in\mathbb{R}\) (adevărat).
Soluția este \(x=1\).
Exercițiul 19. \(\lg(10^{2x+1}+7\cdot10^{x+1})=\lg(10^{x+2}-20)\)
Rezolvare.
CE: \(10^{2x+1}+7\cdot10^{x+1}>0,\;10^{x+2}-20>0\Rightarrow10^x>0.2\).
\(10^{2x+1}+7\cdot10^{x+1}=10^{x+2}-20\).
Notăm \(t=10^x\Rightarrow10t^2+70t=100t-20\Rightarrow10t^2-30t+20=0\Rightarrow t^2-3t+2=0\).
\((t-1)(t-2)=0\Rightarrow t=1\) sau \(t=2\).
\(10^x=1\Rightarrow x=0\).
\(10^x=2\Rightarrow x=\lg2\).
Verificare.
Pentru \(x=0\), avem \(10^0=1>0.2\) (adevărat).
Pentru \(x=\lg2\), avem \(10^{\lg2}=2>0.2\) (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=0,\;x_2=\lg2\).
Exercițiul 20. \(\log_{3}\left(3^{x^2-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}(0.2)\)
Rezolvare.
CE: \(3^{x^2-13x+28}+\frac29>0\) (adevărat pentru orice \(x\)).
\(\log_{5}(0.2)=-1\Rightarrow\log_{3}\left(3^{x^2-13x+28}+\frac29\right)=-1\).
\(3^{x^2-13x+28}+\frac29=\frac13\Rightarrow3^{x^2-13x+28}=\frac13-\frac29=\frac19=3^{-2}\).
\(x^2-13x+28=-2\Rightarrow x^2-13x+30=0\Rightarrow(x-3)(x-10)=0\).
\(x=3\) sau \(x=10\).
Verificare.
Pentru \(x=3\), avem expresia definită (adevărat).
Pentru \(x=10\), avem expresia definită (adevărat).
Soluțiile sunt \(x_1=3,\;x_2=10\).
