Definiție
Se numește ecuație logaritmică o ecuație în care necunoscuta apare în argumentul unui logaritm sau în baza acestuia.
Exemple:
1.\(\log_x 8 = 3\)
2.\(\log_2 (x+1) = 4\)
Condiții de existență
Pentru ca un logaritm \(\log_a b\) să fie definit, trebuie să fie îndeplinite condițiile:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a>0 \\
a\ne1 \\
b>0
\end{array}
\right.
\]
Exemple
1. Determinați numărul real \(x\) pentru care există \(\log_{3}(2x-5)\).
Impunem condiții de existență a logaritmului.
C.E.: \(2x-5>0\)
\(2x-5>0 \Rightarrow 2x>5 \Rightarrow x>\frac{5}{2}\)
2. Determinați numărul real \(x\) pentru care are sens \(\log_{x-1}(2-x)\).
Impunem condițiile de existență ale logaritmului.
\[
\text{C.E.: }
\left\{
\begin{array}{l}
x-1>0 \Rightarrow x>1\\
x-1\ne1 \Rightarrow x\ne2\\
2-x>0 \Rightarrow x<2
\end{array}
\right.
\qquad \Rightarrow \qquad
1<x<2
\]
Proprietăți folosite în rezolvarea ecuațiilor
P1) \(\log_a x=b \Leftrightarrow a^b=x\)
P2) \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
P3) \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\)
P4) \(\log_a(x^n)=n\log_a x\)
P5) \(\log_a f(x)=\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
Etape de rezolvare a ecuațiilor logaritmice
1.Se scriu condițiile de existență.
2.Se transformă ecuația folosind proprietățile logaritmilor.
3.Se rezolvă ecuația obținută.
4.Se verifică dacă soluțiile găsite respectă condițiile de existență.
Atenție!
Nu orice soluție a ecuației algebrice obținute este automat și soluție a ecuației logaritmice.
Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice
Metoda 1. Aplicarea definiției logaritmului
Se folosește atunci când ecuația are forma
\[
\log_a f(x)=b
\]
Aplicăm definiția logaritmului
\[
\log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b
\]
Exemplu
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2(x-3)=4\).
C.E.: \(x-3>0 \Rightarrow x>3\)
\[
\log_2(x-3)=4 \Leftrightarrow x-3=2^4
\]
\[
x-3=16 \Rightarrow x=19
\]
Verificare: \(19>3\)
\[
S=\{19\}
\]
Metoda 2. Metoda egalării argumentelor logaritmilor
Această metodă se aplică atunci când logaritmii au aceeași bază.
$$\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x)$$
$$\text{C.E.: } a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0,\ g(x)>0$$
Exemplu
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
$$\log_5(x+2)=\log_5(3x-6)$$
C.E.
$$\begin{cases}
x+2>0\\
3x-6>0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x>-2\\
x>2
\end{cases}$$
$$\log_5(x+2)=\log_5(3x-6) \Leftrightarrow x+2=3x-6$$
$$2x=8 \Rightarrow x=4$$
Verificare
$$4>-2$$
$$4>2$$
Soluția
$$S=\{4\}$$
Metoda 3. Metoda folosirii proprietăților logaritmilor
Această metodă se aplică atunci când în ecuație apar sume sau diferențe de logaritmi.
Exemplu
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
$$\log_2 x+\log_2(x-2)=3$$
C.E.
$$\begin{cases}
x>0\\
x-2>0
\end{cases}
\Rightarrow x>2$$
$$\log_2 x+\log_2(x-2)=3$$
$$\log_2[x(x-2)]=3$$
$$x(x-2)=2^3$$
$$x^2-2x=8$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$(x-4)(x+2)=0$$
$$x=4 \ \text{sau} \ x=-2$$
Verificare
$$4>2$$
$$-2\not>2$$
Soluția
$$S=\{4\}$$
Metoda 4. Metoda schimbării de variabilă
Această metodă se aplică atunci când aceeași expresie logaritmică apare de mai multe ori în ecuație.
$$t=\log_a f(x)$$
Ecuația logaritmică se transformă într-o ecuație algebrică în variabila t.
$$\text{C.E.: } a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0$$
Exemplu
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
$$(\log_2 x)^2-5\log_2 x+6=0$$
C.E.$$x>0$$
Notăm
$$t=\log_2 x$$
Ecuația devine
$$t^2-5t+6=0$$
$$(t-2)(t-3)=0$$
$$t=2 \ \text{sau} \ t=3$$
Revenim la variabila x
$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x=4$$
$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3 \Rightarrow x=8$$
Verificare
$$4>0$$
$$8>0$$
Soluția
$$S=\{4,8\}$$
Metoda 5. Metoda reducerii la aceeași bază
Această metodă se aplică atunci când în ecuație apar logaritmi cu baze diferite.
Se folosește formula schimbării bazei
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
sau se reduc numerele la aceeași bază folosind proprietățile puterilor.
$$\text{C.E.: } a>0,\ a\neq1,\ b>0$$
Exemplu
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
$$\log_2 x=\log_4 16$$
C.E.
$$x>0$$
$$
\begin{cases}
\log_2 x=\log_4 16\\
\log_4 16=2
\end{cases}
\Rightarrow
\log_2 x=2
$$
$$x=2^2$$
$$x=4$$
Verificare
$$4>0$$
Soluția
$$S=\{4\}$$
