Considerații teoretice
Funcții bijective
i) Considerații teoretice
Fie \( f : D \to E \). Funcția \( f \) este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.
Metoda grafică: O funcție numerică este bijectivă dacă orice paralelă dusă la axa \( Ox \) prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției exact într-un punct.
Exemple rezolvate
Exemplul 1.
Rezolvare:
Metoda 1 (definiție):
a) Injectivitate: fie \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \), dacă \( f(x_1)=f(x_2) \), atunci \( \frac{1-3x_1}{2}=\frac{1-3x_2}{2} \Rightarrow 1-3x_1=1-3x_2 \Rightarrow -3x_1=-3x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \), deci funcția este injectivă.
b) Surjectivitate: fie \( y \in \mathbb{R} \), căutăm \( x \in \mathbb{R} \) astfel încât \( f(x)=y \), adică \( \frac{1-3x}{2}=y \Rightarrow 1-3x=2y \Rightarrow -3x=2y-1 \Rightarrow x=\frac{1-2y}{3} \in \mathbb{R} \), deci funcția este surjectivă.
Rezultă că funcția \( f \) este bijectivă.
Metoda 2 (funcție de gradul I):
Funcția \( f(x)=\frac{1-3x}{2} \) este de forma \( ax+b \), cu \( a=-\frac{3}{2} \neq 0 \), deci este strict monotonă pe \( \mathbb{R} \), rezultând că este injectivă și surjectivă, deci bijectivă.
Exemplul 2.
Rezolvare:
Metoda 1 (definiție):
a) Injectivitate: fie \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \), dacă \( f(x_1)=f(x_2) \), atunci \( \frac{2x_1+5}{3}=\frac{2x_2+5}{3} \Rightarrow 2x_1+5=2x_2+5 \Rightarrow 2x_1=2x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \), deci funcția este injectivă.
b) Surjectivitate: fie \( y \in \mathbb{R} \), căutăm \( x \in \mathbb{R} \) astfel încât \( f(x)=y \), adică \( \frac{2x+5}{3}=y \Rightarrow 2x+5=3y \Rightarrow 2x=3y-5 \Rightarrow x=\frac{3y-5}{2} \in \mathbb{R} \), deci funcția este surjectivă.
Rezultă că funcția \( f \) este bijectivă.
Metoda 2 (funcție de gradul I):
Funcția \( f(x)=\frac{2x+5}{3} \) este de forma \( ax+b \), cu \( a=\frac{2}{3} \neq 0 \), deci este strict monotonă pe \( \mathbb{R} \), rezultând că este injectivă și surjectivă, deci bijectivă.
