Breviar teoretic
Fie \(f:D\to E\)
f – injectivă dacă:
Pentru a arăta că o funcție \(f\) este injectivă, putem folosi una dintre următoarele metode:
1) \(f\) – injectivă dacă \[ \color{red}{\forall x_1,x_2\in D,\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2} \] 2) metoda grafică: O funcție numerică este injectivă dacă orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.
f – injectivă dacă:
\(\forall x_1,x_2\in D,\; x_1\ne x_2,\; \text{atunci } f(x_1)\ne f(x_2)\)
Pentru a arăta că o funcție \(f\) este injectivă, putem folosi una dintre următoarele metode:
1) \(f\) – injectivă dacă \[ \color{red}{\forall x_1,x_2\in D,\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2} \] 2) metoda grafică: O funcție numerică este injectivă dacă orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.
Exemple
1. Să se arate că funcția \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\; f(x)=2x-1\) este injectivă.
Rezolvare:
Metoda 1:
\(f\) – injectivă dacă \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R},\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) \[ f(x_1)=2x_1-1 \] \[ f(x_2)=2x_2-1 \] \[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow 2x_1-1=2x_2-1\Rightarrow 2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow f \text{ este injectivă.} \] Metoda 2 (metoda grafică)
Reprezentăm grafic funcția de gradul I într-un reper cartezian \(xOy\), determinând punctele de intersecție cu axele de coordonate. \[ G_f\cap Ox:\; y=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow A\left(\frac{1}{2},0\right) \] \[ G_f\cap Oy:\; x=0\Rightarrow y=2\cdot0-1=-1\Rightarrow B(0,-1) \] Observăm că orice paralelă dusă la axa \(Ox\) intersectează graficul funcției într-un singur punct.
Concluzie: \(f\) este injectivă.
Rezolvare:
Metoda 1:
\(f\) – injectivă dacă \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R},\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) \[ f(x_1)=2x_1-1 \] \[ f(x_2)=2x_2-1 \] \[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow 2x_1-1=2x_2-1\Rightarrow 2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow f \text{ este injectivă.} \] Metoda 2 (metoda grafică)
Reprezentăm grafic funcția de gradul I într-un reper cartezian \(xOy\), determinând punctele de intersecție cu axele de coordonate. \[ G_f\cap Ox:\; y=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow A\left(\frac{1}{2},0\right) \] \[ G_f\cap Oy:\; x=0\Rightarrow y=2\cdot0-1=-1\Rightarrow B(0,-1) \] Observăm că orice paralelă dusă la axa \(Ox\) intersectează graficul funcției într-un singur punct.
Concluzie: \(f\) este injectivă.
2. Să se studieze injectivitatea funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x^2-3x+2\).
Rezolvare:
Metoda 1
\(f\) – injectivă: \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R},\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) \[ f(x_1)=x_1^2-3x_1+2 \] \[ f(x_2)=x_2^2-3x_2+2 \] \[ f(x_1)=f(x_2) \] \[ x_1^2-3x_1+2=x_2^2-3x_2+2 \] \[ x_1^2-3x_1=x_2^2-3x_2 \] \[ x_1^2-x_2^2-3x_1+3x_2=0 \] \[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)-3(x_1-x_2)=0 \] \[ (x_1-x_2)(x_1+x_2-3)=0 \] \[ x_1=x_2 \quad sau \quad x_1+x_2=3 \] Cum \(x_1+x_2=3\) înseamnă că există perechi de numere distincte \(x_1,x_2\) care au aceeași imagine prin funcția \(f\). De exemplu: \[ f(1)=1^2-3\cdot1+2=0 \] \[ f(2)=2^2-3\cdot2+2=0 \] \[ f(1)=f(2) \] Deci funcția \(f\) nu este injectivă.
Metoda 2 (metoda grafică)
i) Intuim forma graficului: \(a=1>0\Rightarrow\) parabola „ține apa”.
ii) Determinăm intersecțiile graficului cu axele \(Ox\) și \(Oy\) \[ G_f\cap Ox:\; y=0 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \] \[ x_1=1,\quad x_2=2 \] \[ A(1,0),\quad B(2,0) \] \[ G_f\cap Oy:\; x=0 \Rightarrow y=f(0)=2 \] \[ C(0,2) \]
iii) Se determină vârful parabolei \[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right) \] \[ V\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right) \]
iv) Se realizează tabelul de valori al funcției
v) Se reprezintă punctele în reperul cartezian \(xOy\). Observăm că o paralelă la axa \(Ox\) intersectează graficul funcției în două puncte. Prin urmare, funcția \(f\) nu este injectivă.
Rezolvare:
Metoda 1
\(f\) – injectivă: \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R},\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) \[ f(x_1)=x_1^2-3x_1+2 \] \[ f(x_2)=x_2^2-3x_2+2 \] \[ f(x_1)=f(x_2) \] \[ x_1^2-3x_1+2=x_2^2-3x_2+2 \] \[ x_1^2-3x_1=x_2^2-3x_2 \] \[ x_1^2-x_2^2-3x_1+3x_2=0 \] \[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)-3(x_1-x_2)=0 \] \[ (x_1-x_2)(x_1+x_2-3)=0 \] \[ x_1=x_2 \quad sau \quad x_1+x_2=3 \] Cum \(x_1+x_2=3\) înseamnă că există perechi de numere distincte \(x_1,x_2\) care au aceeași imagine prin funcția \(f\). De exemplu: \[ f(1)=1^2-3\cdot1+2=0 \] \[ f(2)=2^2-3\cdot2+2=0 \] \[ f(1)=f(2) \] Deci funcția \(f\) nu este injectivă.
Metoda 2 (metoda grafică)
i) Intuim forma graficului: \(a=1>0\Rightarrow\) parabola „ține apa”.
ii) Determinăm intersecțiile graficului cu axele \(Ox\) și \(Oy\) \[ G_f\cap Ox:\; y=0 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \] \[ x_1=1,\quad x_2=2 \] \[ A(1,0),\quad B(2,0) \] \[ G_f\cap Oy:\; x=0 \Rightarrow y=f(0)=2 \] \[ C(0,2) \]
iii) Se determină vârful parabolei \[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right) \] \[ V\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right) \]
iv) Se realizează tabelul de valori al funcției
| x | 0 | 1 | \(\frac{3}{2}\) | 2 |
| f(x) | 2 | 0 | \(-\frac{1}{4}\) | 0 |
v) Se reprezintă punctele în reperul cartezian \(xOy\). Observăm că o paralelă la axa \(Ox\) intersectează graficul funcției în două puncte. Prin urmare, funcția \(f\) nu este injectivă.
