Considerații teoretice
Fie \(f:D\to E\).
\(f\) este surjectivă dacă \[ \forall y\in E,\ \exists x\in D \text{ a.î. } f(x)=y \] Pentru a arăta că o funcție \(f\) este surjectivă putem folosi una dintre metodele următoare:
1) \(f\) este surjectivă dacă \[ f(D)=E \] 2) Metoda grafică: O funcție numerică este surjectivă dacă orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.
Exemple
Rezolvare
Metoda 1
\(f\) este surjectivă dacă \[ \forall y\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R}\ \text{a.î.}\ f(x)=y \] Pentru \(y\in\mathbb{R}\) rezolvăm ecuația \[ 2x-1=y \Rightarrow 2x=y+1 \Rightarrow x=\frac{y+1}{2}\tag{1} \] Cum \(y\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{y+1}{2}\in\mathbb{R}\), rezultă \[ x\in\mathbb{R}\tag{2} \] Verificăm \[ f(x)=2\cdot\frac{y+1}{2}-1=y+1-1=y\tag{3} \] Din (1), (2) și (3) rezultă că funcția \(f\) este surjectivă.
Metoda 2 (metoda grafică)
Reprezentăm grafic funcția într-un reper cartezian \(xOy\). \[ y=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac12 \Rightarrow A\left(\frac12,0\right) \] \[ x=0\Rightarrow y=-1 \Rightarrow B(0,-1) \] Observăm că orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele axei \(Oy\) intersectează graficul funcției într-un punct.
Concluzie: funcția este surjectivă.
Fie \(f:D\to E\).
\(f\) este surjectivă dacă \[ \forall y\in E,\ \exists x\in D \text{ a.î. } f(x)=y \] Pentru a arăta că o funcție \(f\) este surjectivă putem folosi una dintre metodele următoare:
1) \(f\) este surjectivă dacă \[ f(D)=E \] 2) Metoda grafică: O funcție numerică este surjectivă dacă orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.
Exemple
1. Să se arate că funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-1\) este surjectivă.
Rezolvare
Metoda 1
\(f\) este surjectivă dacă \[ \forall y\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R}\ \text{a.î.}\ f(x)=y \] Pentru \(y\in\mathbb{R}\) rezolvăm ecuația \[ 2x-1=y \Rightarrow 2x=y+1 \Rightarrow x=\frac{y+1}{2}\tag{1} \] Cum \(y\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{y+1}{2}\in\mathbb{R}\), rezultă \[ x\in\mathbb{R}\tag{2} \] Verificăm \[ f(x)=2\cdot\frac{y+1}{2}-1=y+1-1=y\tag{3} \] Din (1), (2) și (3) rezultă că funcția \(f\) este surjectivă.
Metoda 2 (metoda grafică)
Reprezentăm grafic funcția într-un reper cartezian \(xOy\). \[ y=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac12 \Rightarrow A\left(\frac12,0\right) \] \[ x=0\Rightarrow y=-1 \Rightarrow B(0,-1) \] Observăm că orice paralelă dusă la axa \(Ox\) prin punctele axei \(Oy\) intersectează graficul funcției într-un punct.
Concluzie: funcția este surjectivă.
2. Să se studieze surjectivitatea funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2-3x+2\).
Rezolvare:
Metoda 1 (Metoda grafică)
Metoda 1 (Metoda grafică)
Din grafic observăm că imaginea funcției \(f\) este
\[
\mathrm{Im}\,f=\left[-\frac{1}{4};+\infty\right)
\]
Pentru valori ale lui \(y\) mai mici decât \(-\frac{1}{4}\) paralelele duse la axa \(Ox\), prin punctele axei \(Oy\) nu intersectează graficul funcției în niciun punct, prin urmare \(f\) nu este o funcție surjectivă.
Metoda 2.
\(f\) – surjectivă dacă \(\forall y\in\mathbb{R},\exists x\in\mathbb{R}\) a.î. \(f(x)=y\)
Luăm \(x^2-3x+2=y \Rightarrow x^2-3x+(2-y)=0\)
\(a=1,\; b=-3,\; c=2-y \Rightarrow \Delta=b^2-4ac=9-4(2-y)=1+4y\)
Pentru ca ecuația dată să aibă soluții, trebuie ca discriminantul ecuației să nu fie negativ.
\[ \Delta\ge0 \iff 1+4y\ge0 \iff 4y\ge-1 \iff y\ge-\frac14 \]
Cum funcția poate lua valori doar în intervalul \[ \left[-\frac14;+\infty\right) \] atunci \(f\) nu este o funcție surjectivă.
\(f\) – surjectivă dacă \(\forall y\in\mathbb{R},\exists x\in\mathbb{R}\) a.î. \(f(x)=y\)
Luăm \(x^2-3x+2=y \Rightarrow x^2-3x+(2-y)=0\)
\(a=1,\; b=-3,\; c=2-y \Rightarrow \Delta=b^2-4ac=9-4(2-y)=1+4y\)
Pentru ca ecuația dată să aibă soluții, trebuie ca discriminantul ecuației să nu fie negativ.
\[ \Delta\ge0 \iff 1+4y\ge0 \iff 4y\ge-1 \iff y\ge-\frac14 \]
Cum funcția poate lua valori doar în intervalul \[ \left[-\frac14;+\infty\right) \] atunci \(f\) nu este o funcție surjectivă.
