Intersecția a două drepte - Aplicații

Definiții

Considerăm două drepte:

\[ d_1: a_1x+b_1y+c_1=0 \] \[ d_2: a_2x+b_2y+c_2=0 \]

Punctul de intersecție al celor două drepte este punctul:

\[ A(x_A,y_A) \]

care aparține ambelor drepte.

Asta înseamnă că perechea \[ (x_A,y_A) \] verifică simultan ecuațiile celor două drepte.

Prin urmare, trebuie să rezolvăm sistemul:

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases} \]

Soluția sistemului reprezintă coordonatele punctului de intersecție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1.

Determinați punctul de intersecție al dreptelor: \(d_1: x+y-5=0\) și \(d_2: x-y-1=0\).

Rezolvare:

Pentru a determina punctul de intersecție al celor două drepte, rezolvăm sistemul format din ecuațiile dreptelor:

\[ \begin{cases} x+y-5=0\\ x-y-1=0 \end{cases} \]

Rezultă:

\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]

Adunăm cele două ecuații:

\[ x+y+x-y=5+1 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]

Înlocuim în prima ecuație:

\[ x+y=5 \] \[ 3+y=5 \] \[ y=2 \]

Prin urmare, punctul de intersecție este:

\[ A(3,2) \]

Exemplul 2.

Determinați punctul de intersecție al dreptelor: \(d_1: 2x+y-7=0\) și \(d_2: x-y+1=0\).

Rezolvare:

Pentru a determina punctul de intersecție al celor două drepte, rezolvăm sistemul format din ecuațiile dreptelor:

\[ \begin{cases} 2x+y-7=0\\ x-y+1=0 \end{cases} \]

Rezultă:

\[ \begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=-1 \end{cases} \]

Adunăm cele două ecuații:

\[ 2x+y+x-y=7+(-1) \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \]

Înlocuim în prima ecuație:

\[ 2x+y=7 \] \[ 2\cdot 2+y=7 \] \[ 4+y=7 \] \[ y=3 \]

Prin urmare, punctul de intersecție este:

\[ A(2,3) \]

Exemplul 4.

Determinați punctul de intersecție al dreptelor: \(d_1: \frac{x}{2}+y-4=0\) și \(d_2: x-y-1=0\).

Rezolvare:

Pentru a determina punctul de intersecție al celor două drepte, rezolvăm sistemul format din ecuațiile dreptelor:

\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+y-4=0\\ x-y-1=0 \end{cases} \]

Rezultă:

\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+y=4\\ x-y=1 \end{cases} \]

Din a doua ecuație avem:

\[ x-y=1 \] \[ y=x-1 \]

Înlocuim în prima ecuație:

\[ \frac{x}{2}+y=4 \] \[ \frac{x}{2}+x-1=4 \] \[ \frac{x}{2}+x=5 \] \[ \frac{3x}{2}=5 \] \[ 3x=10 \] \[ x=\frac{10}{3} \]

Aflăm valoarea lui \(y\):

\[ y=x-1 \] \[ y=\frac{10}{3}-1 \] \[ y=\frac{10}{3}-\frac{3}{3} \] \[ y=\frac{7}{3} \]

Prin urmare, punctul de intersecție este:

\[ A\left(\frac{10}{3},\frac{7}{3}\right) \]

Intersecția a două drepte – Aplicații

Definiții

Exemple rezolvate

Meniu

Contact

© Copyright 2024 profesorciofuconstantin.ro | Realizat în cadrul proiectului WAcademy.ro