Permutări
O mulțime \( A \) finită se numește ordonată dacă ordinea în care sunt aranjate elementele ei este fixată.
Numim „permutări de \( n \)” și notăm \( P_n \) numărul de submulțimi ordonate cu \( n \) elemente ale unei mulțimi cu \( n \) elemente.
Exemple rezolvate
Câte numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma folosind cifrele \(1, 2, 3, 4\)?
Rezolvare:
Metoda 1 (prin enumerare):
Scriem toate numerele posibile:
\(123,\ 124,\ 132,\ 134,\ 142,\ 143\)
\(213,\ 214,\ 231,\ 234,\ 241,\ 243\)
\(312,\ 314,\ 321,\ 324,\ 341,\ 342\)
\(412,\ 413,\ 421,\ 423,\ 431,\ 432\)
În total sunt \(24\) numere.
Metoda 2 (regula produsului):
Pentru prima cifră avem \(4\) posibilități.
Pentru a doua cifră avem \(3\) posibilități.
Pentru a treia cifră avem \(2\) posibilități.
Răspuns: \(24\)
Calculați: a) \(4! – 2!\); b) \(\frac{5!}{3!}\); c) \(\frac{7! – 5!}{6!}\)
Rezolvare:
a) \(4! – 2! = 2! \cdot 3 \cdot 4 – 2! = 2!(3 \cdot 4 – 1) = 2!(12 – 1) = 2! \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22\)
b) \(\frac{5!}{3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3!} = 4 \cdot 5 = 20\)
c) \(\frac{7! – 5!}{6!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7 – 5!}{5! \cdot 6} = \frac{5!(6 \cdot 7 – 1)}{5! \cdot 6} = \frac{6 \cdot 7 – 1}{6} = \frac{42 – 1}{6} = \frac{41}{6}\)
Calculați: a) \(\frac{(n+2)!}{n!}\); b) \(\frac{(n+1)!}{(n+3)!}\); c) \(\frac{(n-1)!}{(n-3)!}\); d) \(\frac{(n+2)! – n!}{(n+1)!}\)
Rezolvare:
a) \(\frac{(n+2)!}{n!} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = (n+2)(n+1)\)
b) \(\frac{(n+1)!}{(n+3)!} = \frac{(n+1)!}{(n+3)(n+2)(n+1)!} = \frac{1}{(n+3)(n+2)}\)
c) \(\frac{(n-1)!}{(n-3)!} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} = (n-1)(n-2)\)
d) \(\frac{(n+2)! – n!}{(n+1)!} = \frac{(n+2)(n+1)n! – n!}{(n+1)n!} = \frac{n![(n+2)(n+1)-1]}{(n+1)n!} = \frac{(n+2)(n+1)-1}{n+1}\)
Să se rezolve ecuațiile: a) \((n+2)! = 3(n+1)!\); b) \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = 6\)
Rezolvare:
a) \((n+2)(n+1)! = 3(n+1)! \;\;|\; : (n+1)!\)
\(n+2 = 3\)
\(n = 1\)
Verificare: \((1+2)! = 6,\; 3(1+1)! = 6\)
b) \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = 6\)
\(\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!} = 6\)
\((n+3)(n+2) = 6\)
\(n^2 + 5n + 6 = 6\)
\(n^2 + 5n = 0\)
\(n(n+5) = 0\)
\(n = 0 \;\; \text{sau} \;\; n = -5\)
\(0 \in \mathbb{N}, \text{ deci } n=0 \text{ este soluție}\)
\(-5 \notin \mathbb{N}, \text{ deci } n=-5 \text{ nu este soluție}\)
