Introducere
Ecuațiile matriceale sunt egalități în care necunoscuta este o matrice. Rezolvarea lor se bazează pe operații cu matrice, pe proprietățile matricei inverse și pe regulile de calcul matricial. În această lecție prezentăm principalele tipuri de ecuații matriceale și metodele de rezolvare, însoțite de exemple explicate pas cu pas.
Considerații teoretice
Definiție
O ecuație matriceală este o egalitate în care necunoscuta este o matrice, iar relația este definită prin operații cu matrice.
În general, o ecuație matriceală poate avea una dintre formele:
\[
A \cdot X = B,\quad X \cdot A = B,\quad A \cdot X \cdot C = B
\]
unde \( A, B, C \) sunt matrice cunoscute, iar \( X \) este matricea necunoscută.
Rezolvarea acestor ecuații se face utilizând regulile de calcul matricial și, în special, proprietățile matricelor inversabile.
Metode de determinare a matricei necunoscute
1. Cazul \( A \cdot X = B \)
Presupunem că matricea \( A \) este inversabilă, adică \( \det(A) \ne 0 \).
\[
A \cdot X = B
\]
\[
A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1}B
\]
\[
(A^{-1}A)X = A^{-1}B
\]
\[
X = A^{-1}B
\]
2. Cazul \( X \cdot A = B \)
Presupunem că matricea \( A \) este inversabilă.
\[
X \cdot A = B
\]
\[
(X \cdot A)A^{-1} = BA^{-1}
\]
\[
X(AA^{-1}) = BA^{-1}
\]
\[
X = BA^{-1}
\]
3. Cazul \( A \cdot X \cdot C = B \)
Presupunem că matricele \( A \) și \( C \) sunt inversabile.
\[
A \cdot X \cdot C = B
\]
\[
A^{-1}(A \cdot X \cdot C) = A^{-1}B
\]
\[
(A^{-1}A)X \cdot C = A^{-1}B
\]
\[
X \cdot C = A^{-1}B
\]
\[
(X \cdot C)C^{-1} = A^{-1}B \cdot C^{-1}
\]
\[
X(CC^{-1}) = A^{-1}B C^{-1}
\]
\[
X = A^{-1}B C^{-1}
\]
Exemple rezolvate
Exemplu
Enunț:
\[ \text{Să se determine } X \in M_2(\mathbb{R}) \text{ pentru care } A \cdot X = B,\quad A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3&2\\5&4\end{pmatrix} \]
Rezolvare:
\[ X = A^{-1}B \]
\[ \det(A)=2\cdot 1-1\cdot 1=1\ne 0 \]
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \]
\[ X= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\5&4\end{pmatrix} \]
\[ X= \begin{pmatrix} 3-5 & 2-4\\ -3+10 & -2+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2\\ 7 & 6 \end{pmatrix} \]
Răspuns:
\[ X=\begin{pmatrix}-2&-2\\7&6\end{pmatrix} \]
