Funcții continue într-un punct - definiție și exerciții rezolvate
În această lecție explic noțiunea de funcție continuă într-un punct, funcție continuă pe o mulțime, puncte de discontinuitate de speța I și II și prezint câteva exemple rezolvate.
Definiția continuității într-un punct
Fie f : D → ℝ,
D ⊂ ℝ și x₀ ∈ D, unde x₀ – punct de acumulare pentru D.
Funcția f se numește continuă în punctul x₀ dacă:
$$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$$
Dacă f este continuă în x₀ atunci:
– x₀ se numește punct de continuitate al funcției f.
Dacă f este discontinuă în x₀ atunci:
– x₀ se numește punct de discontinuitate al funcției f.
Spunem că o funcție f este continuă pe o mulțime A ⊂ D dacă este continuă în fiecare punct din A.
Continuitatea laterală
Fie f : D → ℝ,
D ⊂ ℝ și x₀ ∈ D, unde x₀ – punct de acumulare pentru D.
Funcția f este continuă la stânga în x₀ dacă limita la stânga în x₀ este egală cu valoarea funcției în x₀.
$$l_s(x_0)=\lim_{\begin{array}{c} x\to x_0 \\ x<x_0 \end{array}} f(x)=f(x_0)$$
Funcția f este continuă la dreapta în x₀ dacă limita la dreapta în x₀ este egală cu valoarea funcției în x₀.
$$l_d(x_0)=\lim_{\begin{array}{c} x\to x_0 \\ x>x_0 \end{array}} f(x)=f(x_0)$$
Funcția f este continuă în x₀ dacă limitile laterale în x₀ sunt egale cu valoarea funcției în x₀.
$$\lim_{\begin{array}{c} x\to x_0 \\ x<x_0 \end{array}} f(x)
=
\lim_{\begin{array}{c} x\to x_0 \\ x>x_0 \end{array}} f(x)
=
f(x_0)$$
Puncte de discontinuitate
Fie f : D → ℝ, D ⊂ ℝ și x₀∈D, x₀ – punct de acumulare pentru D.
Spunem că x₀∈D este punct de discontinuitate de speța I dacă limitele laterale există și sunt finite.
Spunem că x₀∈D este punct de discontinuitate de speța II dacă cel puțin o limită laterală a funcției nu există sau este infinită.
Orice funcție elementară este continuă pe întreg domeniul său de definiție.
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Să se studieze continuitatea funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x+2\) în punctul \(x_0=1\).
$$\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1}(x+2)=1+2=3 \qquad (1)$$
$$f(1)=1+2=3 \qquad (2)$$
Din (1) și (2) avem că
$$\lim_{x\to 1} f(x)=f(1)$$
Concluzie
$$f \text{ este continuă în } x_0=1$$
Exemplul 2
Să se studieze continuitatea funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R},\; f(x)=\frac{2x+3}{1-x}\) în punctul \(x_0=-2\).
$$\lim_{x\to-2} f(x)=\lim_{x\to-2}\frac{2x+3}{1-x}=\frac{2\cdot(-2)+3}{1-(-2)}=-\frac{1}{3}\qquad (1)$$
$$f(-2)=\frac{2\cdot(-2)+3}{1-(-2)}=-\frac{1}{3}\qquad (2)$$
Din (1) și (2) avem că
$$\lim_{x\to-2} f(x)=f(-2)$$
Concluzie
$$f \text{ este continuă în punctul } x_0=-2$$
Exemplul 3
$$
\text{Să se studieze continuitatea funcției }
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad
f(x)=
\begin{cases}
x+3, & x\le 0 \\
3-5x, & x>0
\end{cases}
\text{ în punctul } x_0=0.
$$
$$l_s(0)=\lim_{\begin{array}{c}x\to0 \\ x<0\end{array}} f(x)
=\lim_{\begin{array}{c}x\to0 \\ x<0\end{array}}(x+3)
=0+3=3 \qquad (1)$$
$$l_d(0)=\lim_{\begin{array}{c}x\to0 \\ x>0\end{array}} f(x)
=\lim_{\begin{array}{c}x\to0 \\ x>0\end{array}}(3-5x)
=3-5\cdot0=3 \qquad (2)$$
$$f(0)=3 \qquad (3)$$
Din (1), (2) și (3) avem că:
$$l_s(0)=l_d(0)=f(0)=3$$
Concluzie
$$\Rightarrow f \text{ este continuă în punctul } x_0=0$$
