Exemple rezolvate pas cu pas:
Exemplul 1
Fie matricea \(A=\begin{pmatrix} m & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\).
Să se determine \(m\in\mathbb{R}\) astfel încât matricea \(A\) să fie inversabilă.
Rezolvare
\(\det(A)=\begin{vmatrix} m & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=3m-2\)
\(A\) este inversabilă \(\iff \det(A)\neq 0 \iff 3m-2\neq 0 \iff m\neq \frac{2}{3}\)
Exemplul 2
Fie matricea \(A=\begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}\).
Să se determine \(m\in\mathbb{R}\) astfel încât matricea \(A\) să fie inversabilă.
Rezolvare
\(\det(A)=\begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix}=m^2-1\)
\(A\) este inversabilă \(\iff m^2-1\neq 0 \iff (m-1)(m+1)\neq 0 \iff m\neq \pm1\)
Răspuns: \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\)
Exemplul 3
Să se determine care dintre matricile următoare sunt inversabile:
a) \(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\)
Rezolvare
a) \(\det=2\cdot2-4\cdot1=0 \Rightarrow\) matricea nu este inversabilă
b) \(\det=1\cdot7-2\cdot3=1\neq0 \Rightarrow\) matricea este inversabilă
Răspuns: a) nu; b) da
Exemplul 4
Să se determine care dintre matricile următoare sunt inversabile:
a) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)
Rezolvare
a) două linii identice \(\Rightarrow \det=0 \Rightarrow\) matricea nu este inversabilă
b) \(\det=1\cdot(4-3)-2\cdot(0-2)+1\cdot(0-2)=3\neq0 \Rightarrow\) matricea este inversabilă
Rezolvare
a) două linii identice \(\Rightarrow \det=0 \Rightarrow\) matricea nu este inversabilă b) \(\det=1\cdot(4-3)-2\cdot(0-2)+1\cdot(0-2)=3\neq0 \Rightarrow\) matricea este inversabilă Răspuns: a) nu; b) daExemplul 5
Fie matricea \(A=\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\).
Să se determine \(m\in\mathbb{R}\) astfel încât matricea \(A\) să fie inversabilă.
Rezolvare
\(\det(A)=m\begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=m(2m-1)-2=2m^2-m-2\)
\(A\) este inversabilă \(\iff 2m^2-m-2\neq 0\)
\(\Delta=1+16=17,\quad m=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}\)
Răspuns: \(m\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1-\sqrt{17}}{4},\frac{1+\sqrt{17}}{4}\right\}\)
