În această lecție pentru clasa a XI-a studiem matricele inversabile, criteriul de inversabilitate și metoda de calcul a inversei unei matrice, cu exemple rezolvate pas cu pas.
Ce este o matrice inversabilă
O matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) se numește matrice inversabilă dacă există o matrice \( B \in M_n(\mathbb{C}) \) astfel încât:
\( AB = BA = I_n \)
Matricea \( B \) se numește inversa matricei \( A \) și se notează:
\( B = A^{-1} \)
Teorema 1
Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică.
Teorema 2
O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.
\( \det(A) \neq 0 \)
Proprietăți ale matricei inverse
\( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n \)
\( (A^{-1})^{-1} = A \)
Pașii pentru calculul inversei unei matrice
1. Se calculează determinantul matricei \( \det(A) \).
2. Se calculează matricea transpusă.
3. Se calculează complemenții algebrici.
4. Se formează matricea adjunctă.
5. Se aplică formula:
\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^* \)
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Să se determine inversa matricei:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)
Rezolvare:
1. Determinant:
\( \det(A)=1\cdot 1-2\cdot(-1)=3 \)
Deoarece \( \det(A)\neq 0 \), matricea este inversabilă.
2. Matricea transpusă:
\( A^t=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
3. Complemenți algebrici:
\( A_{11}=1,\quad A_{12}=-2,\quad A_{21}=1,\quad A_{22}=1 \)
4. Matricea adjunctă:
\( A^*=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
5. Inversa:
\( A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Exemplul 2
Să se determine inversa matricei:
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)
Rezolvare:
1. Determinant (regula lui Sarrus):
\( \det(A)=1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot0+(-1)\cdot2\cdot1-\big[(-1)\cdot1\cdot0+1\cdot2\cdot(-1)+1\cdot1\cdot1\big] \)
\( \det(A)=-1+0-2-(0-2+1)=-3-(-1)=-2 \)
Deoarece \( \det(A)\neq 0 \), matricea este inversabilă.
2. Matricea transpusă:
\( A^t=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)
3. Complemenți algebrici:
\( A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-1-1=-2 \)
\( A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} =-( -1-(-1))=0 \)
\( A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =1-(-1)=2 \)
\( A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-(-2)=2 \)
\( A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} =-1 \)
\( A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =-(1-(-2))=-3 \)
\( A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =2 \)
\( A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =-1 \)
\( A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1-2=-1 \)
4. Matricea adjunctă:
\( A^*=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)
5. Inversa:
\( A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)
\( A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)
