Breviar teoretic
Fie matricea A ∈ Mm,n(ℂ), A = (aij).
- Rangul unei matrice arată cât de „mare” este cel mai mare minor nenul pe care îl putem obține din acea matrice.
- Dacă rangul matricei A este r, atunci notăm: r = rang(A).
- Matricea nulă are rangul 0.
- O matrice are rangul r dacă are un minor de ordin r diferit de 0, iar toți minorii de ordin mai mare sunt egali cu 0.
- Pentru a determina rangul unei matrice, încercăm să găsim minori nenuli de ordin cât mai mare.
- Rangul produsului a două matrice nu poate depăși rangul fiecăreia dintre ele.
- Dacă o matrice pătratică este inversabilă, atunci rangul ei este egal cu ordinul matricei.
Exemple
Exemplul 1. Să se determine rangul matricei
\( A \in M_{2}(\mathbb{R}) \),
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}
\]
Rezolvare.
Pentru a determina rangul matricei, calculăm determinantul acesteia.
\[
\det(A)=
\begin{vmatrix}
2 & -3 \\
-2 & 5
\end{vmatrix}
\]
\[
\det(A)=2\cdot5-(-3)\cdot(-2)
\]
\[
\det(A)=10-6
\]
\[
\det(A)=4\neq0
\]
Prin urmare,
\[
rang(A)=2
\]
Exemplul 2. Să se determine rangul matricei
\( A \in M_{3,4}(\mathbb{R}) \)
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Rezolvare.
Observăm că matricea este triunghiulară superior.
Pentru a determina rangul, căutăm cel mai mare minor nenul.
Considerăm minorul de ordinul 3 format din primele trei coloane:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\]
Fiind o matrice triunghiulară, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.
\[
\det = 1\cdot1\cdot1 = 1 \neq 0
\]
Există deci un minor de ordinul 3 diferit de zero.
Prin urmare,
\[
rang(A) = 3
\]
Exemplul 3. Să se determine, în funcţie de parametrul real \(m\), rangul matricei
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & m\\
1 & m & 1\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Rezolvare.
\[
\det(A)=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\
1 & m & 1\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
\]
Aplicăm regula lui Sarrus:
\[
\det(A)=1\cdot m\cdot1+1\cdot1\cdot1+m\cdot1\cdot2
-\big(m\cdot m\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot2\big)
\]
\[
=m+1+2m-(m^2+1+2)
\]
\[
=-m^2+3m-2=-(m-1)(m-2)
\]
Discutăm după valorile lui \(m\):
\[
m\neq1,\; m\neq2 \Rightarrow \det(A)\neq0 \Rightarrow rang(A)=3
\]
\[
m=1 \Rightarrow \det(A)=0
\]
\[
m=2 \Rightarrow \det(A)=0
\]
În aceste cazuri există minor de ordin 2 nenul, deci
\[
rang(A)=2
\]
