Operații cu funcții derivabile
Fie \(f,g:D\to\mathbb{R}\), unde \(D\subset\mathbb{R}\), funcții derivabile pe \(D\).
1. Suma
Dacă \(f,g:D\to\mathbb{R}\) sunt derivabile pe \(D\), atunci și \(f+g:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\), iar pentru orice \(x\in D\):
\((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)
2. Diferența
Dacă \(f,g:D\to\mathbb{R}\) sunt derivabile pe \(D\), atunci și \(f-g:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\), iar pentru orice \(x\in D\):
\((f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\)
3. Înmulțirea cu o constantă
Dacă \(f:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\) și \(c\in\mathbb{R}\), atunci și \(c\cdot f:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\), iar pentru orice \(x\in D\):
\((c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)\)
4. Produsul
Dacă \(f,g:D\to\mathbb{R}\) sunt derivabile pe \(D\), atunci și \(f\cdot g:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\), iar pentru orice \(x\in D\):
\((f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
5. Câtul
Dacă \(f,g:D\to\mathbb{R}\) sunt derivabile pe \(D\) și \(g(x)\neq 0,\ \forall x\in D\), atunci și \(\frac{f}{g}:D\to\mathbb{R}\) este derivabilă pe \(D\), iar pentru orice \(x\in D\):
\(\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)
Derivatele funcțiilor elementare
\[
\begin{aligned}
(c)’&=0,\quad c\in\mathbb{R}\\[6pt]
(x)’&=1\\[6pt]
(x^n)’&=n\cdot x^{n-1}\\[6pt]
(\sqrt{x})’&=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad x>0\\[6pt]
\left(\frac{1}{x}\right)’&=-\frac{1}{x^2},\quad x\neq 0\\[6pt]
(e^x)’&=e^x\\[6pt]
(a^x)’&=a^x\ln a,\quad a>0,\ a\neq 1\\[6pt]
(\ln x)’&=\frac{1}{x},\quad x>0\\[6pt]
(\log_a x)’&=\frac{1}{x\ln a},\quad x>0,\ a>0,\ a\neq 1\\[6pt]
(\sin x)’&=\cos x\\[6pt]
(\cos x)’&=-\sin x\\[6pt]
(\operatorname{tg} x)’&=\frac{1}{\cos^2 x}\\[6pt]
(\operatorname{ctg} x)’&=-\frac{1}{\sin^2 x}\\[6pt]
(\arcsin x)’&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad x\in(-1,1)\\[6pt]
(\arccos x)’&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad x\in(-1,1)\\[6pt]
(\operatorname{arctg} x)’&=\frac{1}{1+x^2}\\[6pt]
(\operatorname{arcctg} x)’&=-\frac{1}{1+x^2}
\end{aligned}
\]
