Teoremă
\[
\text{Regula lui l'Hospital pentru cazul } \frac{0}{0}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{Fie } f,g:I\to \mathbb{R},\ I\subset\mathbb{R}\text{ interval și }x_0\text{ punct de acumulare pentru }I.\\Dacă:
&1.\ \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} g(x)=0;\\
&2.\ \text{funcțiile } f \text{ și } g \text{ sunt derivabile pe } I\setminus\{x_0\};\\
&3.\ g'(x)\neq 0,\ \forall x\in I\setminus\{x_0\};\\
&4.\ \text{există } \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \overline{\mathbb{R}};\\ atunci
&\text{funcția } \frac{f}{g} \text{ are limită în punctul }x_0\text{ și }
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}
=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
\end{aligned}
\]
\[
\text{Regula lui l'Hospital pentru cazul } \frac{\infty}{\infty}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{Fie } f,g:I\to\mathbb{R},\ I\subset\mathbb{R}\text{ interval și }x_0\text{ punct de acumulare pentru }I.\\
&\text{Dacă: }1.\ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=\lim_{x\to x_0}|g(x)|=+\infty;\\
&2.\ \text{funcțiile } f \text{ și } g \text{ sunt derivabile pe } I\setminus\{x_0\};\\
&3.\ g'(x)\neq 0,\ \forall x\in I\setminus\{x_0\};\\
&4.\ \text{există } \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\overline{\mathbb{R}};\\
&\text{atunci funcția } \frac{f}{g} \text{ are limită în punctul }x_0\text{ și }
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}
=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
\end{aligned}
\]
