Definiție
Un sistem de ecuații liniare este un sistem în care fiecare ecuație are gradul I în raport cu fiecare necunoscută.
Un sistem de ecuații liniare se numește compatibil determinat dacă are soluție unică.
Un sistem de ecuații liniare se numește compatibil nedeterminat dacă are o infinitate de soluții.
Un sistem de ecuații liniare se numește incompatibil dacă nu are soluții.
Forma unui sistem de ecuații liniare de ordin 2 este:
\[
\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1 \\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases}
\]
unde:
- \(x, y\) – necunoscutele sistemului
- \(a_1, b_1, a_2, b_2\) – coeficienții necunoscutelor
- \(c_1, c_2\) – termenii liberi
- metoda substituției
- metoda reducerii
- regula lui Cramer
Regula lui Cramer
Regula lui Cramer este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind determinanți.
Etapele de rezolvare prin regula lui Cramer:
- Se scrie matricea asociată sistemului: \[ A= \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \]
- Se calculează determinantul sistemului: \[ \det A= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 \]
- Dacă \(\det A \ne 0\), rezultă că sistemul este compatibil determinat, adică are soluție unică.
- Se calculează necunoscutele: \[ x=\frac{\Delta_x}{\det A}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\det A} \]
- Se calculează determinanții: \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1 \]
Exemplu rezolvat
Exemplu. Să se rezolve sistemul de ecuații:
\[ \begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases} \]Rezolvare
Metoda 1 – metoda substituției
\[ \begin{cases} x=5-y \\ 2x-y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=5-y \\ 2(5-y)-y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=5-y \\ 10-3y=1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x=5-y \\ -3y=-9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=5-y \\ y=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \] \[ S=\{(2,3)\} \]Metoda 2 – metoda reducerii
\[ \begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases} \quad (+) \] \[ \overline{x+2x+y-y=5+1} \] \[ 3x=6 \Rightarrow x=\frac{6}{3}\Rightarrow x=2 \]Înlocuim în una din ecuațiile sistemului și obținem:
\[ 2+y=5 \Rightarrow y=5-2 \Rightarrow y=3 \] \[ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \] \[ S=\{(2,3)\} \]Metoda 3 – regula lui Cramer
\[ \begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases} \] \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det A= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot1=-3\ne 0 \] \[ \text{sistem compatibil determinat, cu soluție unică} \] \[ x=\frac{\Delta_x}{\det A} \] \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} \color{red}{5} & 1 \\ \color{red}{1} & -1 \end{vmatrix} =5\cdot(-1)-1\cdot1=-6 \] \[ x=\frac{-6}{-3}=2 \] \[ y=\frac{\Delta_y}{\det A} \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 1 & \color{red}{5} \\ 2 & \color{red}{1} \end{vmatrix} =1\cdot1-2\cdot5=-9 \] \[ y=\frac{-9}{-3}=3 \] \[ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \] \[ S=\{(2,3)\} \]Observație. Observăm că, indiferent de metoda folosită (substituției, reducerii sau regula lui Cramer), se obține aceeași soluție.
Un sistem de ecuații liniare de ordinul trei este un sistem de forma:
\[
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{cases}
\]
unde:
- \(x, y, z\) – necunoscutele sistemului
- \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3\) – coeficienții necunoscutelor
- \(d_1, d_2, d_3\) – termenii liberi
Un sistem de ecuații liniare de ordinul trei se poate rezolva prin regula lui Cramer dacă determinantul matricei sistemului este diferit de zero.
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]Matricea sistemului este:
\[ A= \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \]Determinantul sistemului:
\[ \Delta=\det A \]Dacă \(\Delta \ne 0\), sistemul este compatibil determinat, cu soluție unică.
Soluțiile sunt date de formulele:
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta} \]unde:
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_z= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \]Exemplu. Să se rezolve sistemul de ecuații:
\[ \begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases} \]Rezolvare
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \] \[ \Delta= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} =-8\ne 0 \] \[ \text{sistem compatibil determinat, cu soluție unică} \] \[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta} \] \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} =-16 \Rightarrow x=\frac{-16}{-8}=2 \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} =-8 \Rightarrow y=\frac{-8}{-8}=1 \] \[ \Delta_z= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} =-24 \Rightarrow z=\frac{-24}{-8}=3 \] \[ \begin{cases} x=2 \\ y=1 \\ z=3 \end{cases} \] \[ S=\{(2,1,3)\} \]