Teorema lui Bolzano

Teorema lui Bolzano – definiție, enunț, exemple și aplicații

Teorema lui Bolzano este una dintre cele mai importante rezultate din analiza matematică și se folosește pentru a demonstra existența soluțiilor unei ecuații.

Definiție (continuitate)

Funcția \(f:D\to\mathbb{R}\) este continuă în punctul \(x_0\in D\) dacă \[\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).\]

Fie funcția \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\), continuă pe \([a,b]\). Dacă \(f(a)\cdot f(b)<0,\) atunci există \(c\in(a,b)\) astfel încât \(f(c)=0.\)

Grafic relevant

Interpretare geometrică

în \(a\): funcția este pozitivă;
în \(b\): funcția este negativă.

\(\Rightarrow\) graficul trebuie să taie axa \(Ox\).

Observații importante

Teorema arată existența unei soluții, nu valoarea ei exactă.
Funcția trebuie să fie continuă pe \([a,b]\).
Valorile la capete trebuie să aibă semne opuse.
Ecuația \(f(x)=0\) are cel puțin o soluție în \((a,b)\).

Capcane frecvente

nu se verifică continuitatea;
erori la calculul lui \(f(a)\) și \(f(b)\);
se afirmă greșit unicitatea soluției;
interval ales greșit;
nu există schimbare de semn.

Exemplul 1

Să se arate că ecuația \(x^3-x-2=0\) are soluție în \([1,2]\).
Rezolvare:
Considerăm funcția \(f:[1,2]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-x-2\). Fiind polinom, funcția \(f\) este continuă pe \([1,2]\). Calculăm \(f(1)=1^3-1-2=-2<0\) și \(f(2)=2^3-2-2=4>0\), deci \(f(1)\cdot f(2)<0\). Prin teorema lui Bolzano, există \(c\in(1,2)\) astfel încât \(f(c)=0\). Rezultă că ecuația \(x^3-x-2=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \((1,2)\).

Exemplul 2

Să se arate că ecuația \(\ln x+x-3=0\) are soluție în \([1,3]\).
Rezolvare:
Considerăm funcția \(f:[1,3]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x+x-3\). Funcția \(\ln x\) este continuă pentru \(x>0\), iar funcția \(x\) este continuă pe \(\mathbb{R}\), deci funcția \(f\) este continuă pe \([1,3]\). Calculăm \(f(1)=\ln 1+1-3=0+1-3=-2<0\), iar \(f(3)=\ln 3+3-3=\ln 3>0\). Rezultă că \(f(1)\cdot f(3)<0\). Prin teorema lui Bolzano, există \(c\in(1,3)\) astfel încât \(f(c)=0\). Așadar, ecuația \(\ln x+x-3=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \((1,3)\).

Exerciții propuse

1. Arătați că ecuația \(x^3-3x+1=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \([0,1]\).
2. Arătați că ecuația \(e^x-x-2=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \([1,2]\).
3. Arătați că ecuația \(\ln x+2x-4=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \([1,2]\).

Teorema lui Bolzano