Teoremă
Fie f : [a, b] → ℝ, a < b. Dacă:
a) funcția f este continuă pe intervalul închis [a, b],
b) funcția f este derivabilă pe intervalul deschis (a, b),
c) f(a) = f(b),
atunci există c ∈ (a, b) astfel încât f′(c) = 0.
Teorema lui Rolle se poate interpreta geometric astfel: dacă graficul unei funcții pleacă din punctul A și ajunge în punctul B, aflate la aceeași înălțime, iar funcția este continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b), atunci pe grafic există cel puțin un punct C în care tangenta este orizontală. Prin urmare, în acel punct panta tangentei este zero, adică f′(c) = 0.
Consecințe ale teoremei lui Rolle
CONSECINȚA 1 - Între două zerouri ale unei funcții derivabile pe un interval I se află cel
puțin un zero al derivatei.
Exemplu rezolvat
Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 4. Să se verifice dacă între două zerouri ale lui f se află cel puțin un zero al derivatei.
Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 4. Să se verifice dacă între două zerouri ale lui f se află cel puțin un zero al derivatei.
Rezolvare
f(−2) = (−2)² − 4 = 4 − 4 = 0
f(2) = 2² − 4 = 4 − 4 = 0
Din cele două relații rezultă că ecuația f(x) = 0 are două soluții:
x₁ = −2 și x₂ = 2.
Funcția f este derivabilă pe ℝ, fiind funcție polinomială.
f′(x) = 2x
f′(x) = 0
2x = 0 ⇒ x = 0
0 ∈ (−2, 2)
Rezultă că între cele două soluții ale ecuației f(x) = 0, adică între x₁ = −2 și x₂ = 2,
se află o soluție a ecuației f′(x) = 0, anume x = 0.
Deci se verifică Consecința 1 a teoremei lui Rolle.
CONSECINȚA 2 - Între două zerouri consecutive ale derivatei unei funcții derivabile pe
un interval I se află cel mult un zero al funcției.
Exemplu rezolvat
Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 3x. Să se verifice că între două zerouri consecutive ale derivatei se află un zero al funcției f.
Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 3x. Să se verifice că între două zerouri consecutive ale derivatei se află un zero al funcției f.
Rezolvare
f′(x) = 3x² − 3
f′(x) = 0
3x² − 3 = 0 ⇒ 3(x² − 1) = 0 ⇒ x² − 1 = 0
(x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x₁ = −1 și x₂ = 1
Deci derivata are două zerouri consecutive: −1 și 1.
f(x) = 0
x³ − 3x = 0
x(x² − 3) = 0
x = 0 sau x² − 3 = 0
x = 0 sau x = ±√3
În intervalul (−1, 1) se află doar zeroul x = 0.
Rezultă că între cele două zerouri consecutive ale derivatei, x₁ = −1 și x₂ = 1,
se află cel mult un zero al funcției.
Exemplu rezolvat
Determinați a, b, c ∈ ℝ, astfel încât să se poată aplica teorema lui Rolle funcției f : [−2, 1] → ℝ,
f(x) = { ax² + bx + c, x ∈ [−2, 0)
2x, x ∈ [0, 1]
Determinați a, b, c ∈ ℝ, astfel încât să se poată aplica teorema lui Rolle funcției f : [−2, 1] → ℝ,
f(x) = { ax² + bx + c, x ∈ [−2, 0)
2x, x ∈ [0, 1]
Rezolvare
Trebuie să demonstrăm că funcția f este continuă pe [−2, 1], derivabilă pe (−2, 1) și f(−2) = f(1).
Continuitatea în x = 0:
ls(0) =
lim
x→0
x<0
f(x)
=
lim
x→0
x<0
ax² + bx + c
= c
ld(0) =
lim
x→0
x>0
f(x)
=
lim
x→0
x>0
2x
= 0
f(0) = 2 · 0 = 0
Din ls(0) = ld(0) = f(0) rezultă c = 0.
Derivabilitatea în x = 0:
f′s(0) =
lim
x→0
x<0
f(x) − f(0)
x − 0
=
lim
x→0
x<0
ax² + bx + c − 0
x
=
lim
x→0
x<0
ax² + bx
x
=
lim
x→0
x<0
ax + b
= b
f′d(0) =
lim
x→0
x>0
f(x) − f(0)
x − 0
=
lim
x→0
x>0
2x − 0
x
=
lim
x→0
x>0
2
= 2
Din f′s(0) = f′d(0) rezultă b = 2.
Condiția f(−2) = f(1):
f(−2) = a(−2)² + b(−2) + c = 4a − 2b + c
f(1) = 2 · 1 = 2
Din cele două relații rezultă:
4a − 2b + c = 2
Înlocuim b = 2 și c = 0:
4a − 2 · 2 + 0 = 2 ⇒ 4a − 4 = 2 ⇒ 4a = 6 ⇒ a = 3/2
Rezultă:
a = 3/2, b = 2, c = 0
