Forma algebrică a polinoamelor
Fie \((\kappa,+,\cdot)\) un corp comutativ.
Un polinom de grad \(n \in \mathbb{N}\), cu coeficienți în \(K\), are forma algebrică:
\[
\fbox{\(\mathbf{f=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n}\)}
\]
– \(a_0,a_1,\ldots,a_n \in K\) se numesc coeficienții polinomului \(f\).
– \(a_0\) – termenul liber.
– \(a_n\) – coeficientul dominant.
– \(X\) – nedeterminată.
Mulțimea polinoamelor cu coeficienți în corpul \(K\) se notează \(K[X]\).
\(\text{Observație:}\)
1. Dacă \(n=0\) și \(a_0 \neq 0\) ⇒ \(f=a_0\) – polinom constant
2. \(f=0\) se numește polinom nul
3. \(f=1\) se numește polinom unitate
1. Dacă \(n=0\) și \(a_0 \neq 0\) ⇒ \(f=a_0\) – polinom constant
2. \(f=0\) se numește polinom nul
3. \(f=1\) se numește polinom unitate
Dacă \(a_n \neq 0\), atunci \(\fbox{gradf = n}\) gradul polinomului \(f\).
Fie \(f=a_mX^m+\cdots+a_1X+a_0\) și \(g=b_nX^n+\cdots+b_1X+b_0\)
atunci \(f=g\) dacă și numai dacă \(m=n\) și \(a_0=b_0;\ a_1=b_1;\ \ldots;\ a_m=b_n\)
– polinoame egale (sau polinoame identice)
atunci \(f=g\) dacă și numai dacă \(m=n\) și \(a_0=b_0;\ a_1=b_1;\ \ldots;\ a_m=b_n\)
– polinoame egale (sau polinoame identice)
Fie \(\alpha \in K\), atunci numărul \(f(\alpha)=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\cdots+a_n\alpha^n\) se numește \(\mathbf{valoarea\ polinomului\ } f\) în \(\alpha\).
Funcția \(f:K \to K,\ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\), se numește \(\mathbf{funcția\ polinomială}\) atașată polinomului \(f\).
Fie \(\alpha \in K\). Dacă \(f(\alpha)=0\), atunci \(\alpha\) este \(\mathbf{rădăcină}\) a polinomului \(f\).
Exerciții rezolvate
Exemplul 1. Să se arate că polinoamele \(f=(x-1)(x^2-5x+6)\) și \(g=(x-3)(x^2-3x+2)\) sunt egale.
Rezolvare:
\(f=(x-1)(x^2-5x+6)=x(x^2-5x+6)-1(x^2-5x+6)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6=\)
\(\qquad =x^3-6x^2+11x-6\), grad \(f=3\)
\(g=(x-3)(x^2-3x+2)=x(x^2-3x+2)-3(x^2-3x+2)=x^3-3x^2+2x-3x^2+9x-6=\)
\(\qquad =x^3-6x^2+11x-6\), grad \(g=3\)
Prin urmare, \(f=g\).
Exemplul 2. Să se determine \(a,b,c \in \mathbb{R}\) astfel încât polinoamele
\(f=3x^2-ax+4\) și \(g=bx^3+(2c-1)x^2-3x+4\), \(f,g \in \mathbb{R}[X]\), să fie egale.
Rezolvare:
\(f=3x^2-ax+4 \Rightarrow \text{grad }f=2\)
\(g=bx^3+(2c-1)x^2-3x+4\)
Analizăm gradul lui \(g\):
• dacă \(b\neq 0\) ⇒ \(\text{grad }g=3\)⇒ nu poate fi egal cu \(f\)
• deci \(b=0\), rezultă \(g=(2c-1)x^2-3x+4\)
Pentru ca \(g\) să fie de grad 2:\(2c-1\neq 0 \Rightarrow c\neq \frac{1}{2}\)
Acum egalăm coeficienții: \(f=g \Rightarrow\)\(\begin{cases} 2c-1=3\\ -3=-a\\ b=0 \end{cases}\)
Rezultă: \(c=2,\quad a=3,\quad b=0\)
Exemplul 3. Fie \(f=2x^3-x^2+3x-2\), calculați: \(f(-1);\ f(2);\ f(-\sqrt{2});\ f(i)\).
Rezolvare:
\(f(-1)=2\cdot(-1)^3-(-1)^2+3\cdot(-1)-2=-2-1-3-2=-8\)
\(f(2)=2\cdot2^3-2^2+3\cdot2-2=16-4+6-2=16\)
\(f(-\sqrt{2})=2(-\sqrt{2})^3-(-\sqrt{2})^2+3(-\sqrt{2})-2=2(-2\sqrt{2})-2-3\sqrt{2}-2=-4\sqrt{2}-2-3\sqrt{2}-2=-7\sqrt{2}-4\)
\(f(i)=2i^3-i^2+3i-2=-2i+1+3i-2=i-1\)
Exemplul 4. Fie \( f(x)=x^3-2x^2+3x-a,\; f\in\mathbb{R}[X],\; a\in\mathbb{R} \), știind că \( x_1=-1 \) este rădăcină a lui \( f \), determinați \( a \).
Rezolvare:
\( x_1=-1 \) rădăcină a lui \( f \Rightarrow f(-1)=0 \)
\( f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)-a \)
\( f(-1)=-1-2-3-a=-6-a \)
\( f(-1)=0 \Rightarrow -6-a=0 \Rightarrow a=-6 \)
