Adunarea polinoamelor
Fie polinoamele
\( f, g \in K[X] \)
\( f = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_n X^n,\quad \text{grad } f = n \)
\( g = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \ldots + b_m X^m,\quad \text{grad } g = m \)
Dacă \( n \ge m \), atunci polinomul sumă este polinomul:
\( f+g = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)X + (a_2+b_2)X^2 + \ldots + (a_n+b_m)X^m + \ldots + a_nX^n\)
Observații:
1. Suma a două polinoame se face adunând monoamele asemenea din cele două polinoame;
2. Gradul polinomului sumă poate să scadă dacă termenii de grad maxim se anulează.
Exemplu 1:
Se consideră polinoamele \( f=3X^2+2X+1 \) și \( g=-3X^2+X-4 \). Să se calculeze \( f+g \) și gradul acestuia.
Rezolvare:
\( f+g=(3X^2+2X+1)+(-3X^2+X-4) = (3X^2-3X^2)+(2X+X)+(1-4) = 3X-3 \)
\( \text{grad}(f)=2,\ \text{grad}(g)=2,\ \text{grad}(f+g)=1 \)
Rezolvare:
\( f+g=(2X^2+3X-1)+(-X^2+X+4)=X^2+4X+3 \Rightarrow \text{grad}(f+g)=2 \)
\( g+f=(-X^2+X+4)+(2X^2+3X-1)=X^2+4X+3 \Rightarrow \text{grad}(g+f)=2 \)
Exemplul 3: Se consideră polinoamele \( f=X^2+2X \), \( g=-X^2+X+1 \), \( h=3X-2 \). Să se calculeze \( (f+g)+h \), \( f+(g+h) \) și gradele acestora.
Rezolvare:
\( f+g=(X^2+2X)+(-X^2+X+1)=3X+1 \Rightarrow (f+g)+h=(3X+1)+(3X-2)=6X-1 \Rightarrow \text{grad}((f+g)+h)=1 \)
\( g+h=(-X^2+X+1)+(3X-2)=-X^2+4X-1 \Rightarrow f+(g+h)=(X^2+2X)+(-X^2+4X-1)=6X-1 \Rightarrow \text{grad}(f+(g+h))=1 \)
Proprietățile adunării polinoamelor:
1. Comutativitate: \( f+g=g+f,\ \forall f,g \in K[X] \)
2. Asociativitate: \( (f+g)+h=f+(g+h),\ \forall f,g,h \in K[X] \)
3. Element neutru: \( \exists\, 0 \in K[X]\ \text{astfel încât}\ f+0=0+f=f,\ \forall f \in K[X] \)
4. Element opus: \( \forall f \in K[X],\ \exists\, (-f) \in K[X]\ \text{astfel încât}\ f+(-f)=(-f)+f=0 \)
Înmulțirea polinoamelor
\( f=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_mX^m,\ \text{grad } f=m \)
\( g=b_0+b_1X+b_2X^2+\ldots+b_nX^n,\ \text{grad } g=n \)
Produsul polinoamelor este polinomul:
unde coeficienții se determină prin formula: \( c_k=\sum\limits_{i+j=k} a_i b_j \)
Observație: Gradul produsului este suma gradelor polinoamelor, dacă coeficienții dominanți sunt nenuli.
Exemplul 1: Se consideră polinoamele \( f=X+2 \) și \( g=X-3 \). Să se calculeze \( f \cdot g \), \( g \cdot f \) și gradele acestora.
Rezolvare:
\( f \cdot g=(X+2)(X-3)=X^2-3X+2X-6=X^2-X-6 \Rightarrow \text{grad}(f \cdot g)=2 \)
\( g \cdot f=(X-3)(X+2)=X^2+2X-3X-6=X^2-X-6 \Rightarrow \text{grad}(g \cdot f)=2 \)
Exemplul 2: Se consideră polinoamele \( f=X \), \( g=X+1 \), \( h=2X \). Să se calculeze \( (f \cdot g)\cdot h \), \( f \cdot (g \cdot h) \) și gradele acestora.
Rezolvare:
\( f \cdot g=X(X+1)=X^2+X \Rightarrow (f \cdot g)\cdot h=(X^2+X)\cdot 2X=2X^3+2X^2 \Rightarrow \text{grad}((f \cdot g)\cdot h)=3 \)
\( g \cdot h=(X+1)\cdot 2X=2X^2+2X \Rightarrow f \cdot (g \cdot h)=X(2X^2+2X)=2X^3+2X^2 \Rightarrow \text{grad}(f \cdot (g \cdot h))=3 \)
Proprietățile adunării polinoamelor:
2. Asociativitate: \( (f \cdot g)\cdot h = f \cdot (g \cdot h),\ \forall f,g,h \in K[X] \)
3. Element neutru: \( \exists\, 1 \in K[X]\ \text{astfel încât}\ f \cdot 1 = 1 \cdot f = f,\ \forall f \in K[X] \)
4. Închidere: \( f \cdot g \in K[X],\ \forall f,g \in K[X] \)
