Formule
1. Proprietatea de liniaritate
\[
\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx
\]
\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx
\]
\[
\int_a^b \alpha f(x)dx=\alpha\int_a^b f(x)dx
\]
\int_a^b \alpha f(x)dx=\alpha\int_a^b f(x)dx
\]
\[
\int_a^b (\alpha f(x)+\beta g(x))dx
=
\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx
\]
\int_a^b (\alpha f(x)+\beta g(x))dx
=
\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx
\]
2. Proprietatea de aditivitate
\[
\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx,\quad c\in[a,b]
\]
\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx,\quad c\in[a,b]
\]
3. Proprietatea de monotonie
Dacă \(f(x)\le g(x)\), pentru orice \(x\in[a,b]\), atunci
\[
\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx
\]
\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx
\]
Caz particular
Dacă \(f(x)\ge0\), pentru orice \(x\in[a,b]\), atunci
\[
\int_a^b f(x)dx \ge 0
\]
\int_a^b f(x)dx \ge 0
\]
4. Proprietatea de medie
Dacă există numerele reale \(m\) și \(M\) astfel încât \(m\le f(x)\le M\), pentru orice \(x\in[a,b]\), atunci
\[
m(b-a)\le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)
\]
m(b-a)\le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)
\]
Exemple
Exemplul 1. Calculați integrala
\[
I=\int_0^1 (2x^2-x-3)\,dx
\]
Rezolvare.
Aplicăm proprietatea de liniaritate a integralei definite.
\[
I=\int_0^1 2x^2\,dx-\int_0^1 x\,dx-\int_0^1 3\,dx
\]
\[
I=2\int_0^1 x^2\,dx-\int_0^1 x\,dx-3\int_0^1 dx
\]
Calculăm integralele:
\[
\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}
\]
\[
\int_0^1 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}
\]
\[
\int_0^1 dx=[x]_0^1=1
\]
Înlocuim în expresia lui \(I\):
\[
I=2\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3\cdot1
\]
\[
I=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-3
\]
\[
I=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}-\frac{18}{6}
\]
\[
I=-\frac{17}{6}
\]
Exemplul 2. Calculați integrala
\[ I=\int_0^2 |x-1|\,dx \]Rezolvare.
Observăm că funcția modul își schimbă semnul în punctul \(x=1\).
\[ |x-1|= \begin{cases} 1-x, & x\in[0,1] \\ x-1, & x\in[1,2] \end{cases} \]Aplicăm proprietatea de aditivitate a integralei definite.
\[ I=\int_0^1 (1-x)\,dx+\int_1^2 (x-1)\,dx \]Calculăm prima integrală:
\[ \int_0^1 (1-x)\,dx = \left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \] \[ =1-\frac{1}{2} \] \[ =\frac{1}{2} \]Calculăm a doua integrală:
\[ \int_1^2 (x-1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^2 \] \[ =(2-2)-\left(\frac{1}{2}-1\right) \] \[ =\frac{1}{2} \]Rezultă:
\[ I=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]Exemplul 3. Comparați numerele
\[ a=\int_0^1 (x^2-1)\,dx \qquad b=\int_0^1 (x^2+x)\,dx \]Rezolvare.
Folosim proprietatea de monotonie.
Fie funcțiile \(f,g:[0,1]\to\mathbb{R}\), definite prin
\[ f(x)=x^2-1, \qquad g(x)=x^2+x \]Calculăm diferența:
\[ g(x)-f(x)=x^2+x-(x^2-1) \] \[ g(x)-f(x)=x+1 \]Pentru \(x\in[0,1]\) avem
\[ 0\le x\le1 \] \[ 1\le x+1\le2 \]Deci
\[ x+1\ge0 \]Rezultă
\[ g(x)-f(x)\ge0 \] \[ g(x)\ge f(x) \]Aplicăm proprietatea de monotonie a integralei definite:
\[ \int_0^1 g(x)\,dx \ge \int_0^1 f(x)\,dx \]Prin urmare
\[ b\ge a \]