Definiție
Fie \(f:D \to \mathbb{R}\), unde \(D \subset \mathbb{R}\) și \(x_0 \in D\) este punct de acumulare al mulțimii \(D\).
Se spune că funcția \(f\) are derivată în punctul \(x_0\) dacă există limita
\[
\lim\limits_{x \to x_0}
\frac{f(x)-f(x_0)}
{x-x_0}
\]
Această limită se numește derivata funcției \(f\) în punctul \(x_0\) și se notează
\[
\fbox{\(\color{red}{f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}
\frac{f(x)-f(x_0)}
{x-x_0}}\)}
\]
Se spune că funcția \(f\) este derivabilă în punctul \(x_0\) dacă această limită există și este finită.
Observații
1. \(f'(x_0)\) se citește „f derivat în punctul \(x_0\)”.
2. Funcția \(f\) nu este derivabilă în punctul \(x_0\) dacă \(f'(x_0)\) nu există sau există și este infinită.
Fie \(f:D \to \mathbb{R}\), \(A \subset D\).
Funcția \(f\) este derivabilă pe mulțimea \(A\) dacă este derivabilă în fiecare punct al mulțimii.
Mulțimea
\[
D_{f’}=\{x \in D \mid \exists f'(x)\ \text{și}\ f'(x)\in \mathbb{R}\}
\]
reprezintă domeniul de derivabilitate al funcției \(f\).
Exemplu rezolvat
Să se arate că funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-5\), are derivată în punctul \(x_0=3\) și este derivabilă în acest punct.
Soluție
Se arată că există
\[ f'(3)=\lim\limits_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}\in \mathbb{R} \] \[ f'(3)=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(2x-5)-1}{x-3} =\lim\limits_{x\to 3}\frac{2x-6}{x-3} =\lim\limits_{x\to 3}\frac{2(x-3)}{x-3} =\lim\limits_{x\to 3}2=2 \in \mathbb{R} \]Funcția \(f\) are derivată în \(x_0=3\), \(f'(3)=2\) și este derivabilă în \(x_0=3\).
Derivate laterale
Derivata la stânga
Fie funcția \( f:D \to \mathbb{R} \) și \( x_0 \in D \), astfel încât \( D \cap (-\infty, x_0) \neq \emptyset \).
Funcția \( f \) are derivată la stânga în punctul \( x_0 \) dacă există limita
\[ \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Această limită se numește derivata la stânga și se notează
\[ f’_-(x_0) \]
Derivata la dreapta
Fie funcția \( f:D \to \mathbb{R} \) și \( x_0 \in D \), astfel încât \( D \cap (x_0,+\infty) \neq \emptyset \).
Funcția \( f \) are derivată la dreapta în punctul \( x_0 \) dacă există limita
\[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Această limită se numește derivata la dreapta și se notează
\[ f’_+(x_0) \]
Derivabilitate și continuitate
TEOREMA (continuitatea funcțiilor derivabile)
Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.
Exemplu rezolvat
Să se determine numerele reale \(a\) și \(b\), astfel încât funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definită prin \(f(x)=\begin{cases} x^2+(a-2)x+3-b, & x\le 0 \\ 2x+1, & x>0 \end{cases}\), să fie derivabilă în \(x_0=0\).
Soluție
Pentru continuitate în \(x_0=0\):
\[
\begin{aligned}
l_s(0)&=\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0} f(x)
=\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\big(x^2+(a-2)x+3-b\big)=3-b \\ l_d(0)&=\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} f(x)
=\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}(2x+1)=1 \\
f(0)&=3-b \\
3-b&=1 \Rightarrow b=2
\end{aligned}
\]
Pentru derivabilitate în \(x_0=0\):
\[
\begin{aligned}
\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
&=\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\frac{x^2+(a-2)x}{x}
=\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}(x+a-2)=a-2 \\ \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
&=\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\frac{2x}{x}
=\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}2=2 \\
a-2&=2 \Rightarrow a=4
\end{aligned}
\]
În concluzie, pentru \(a=4\) și \(b=2\), funcția \(f\) este derivabilă în \(x_0=0\).
